高三数学一轮复习第12讲三角恒等变换及应用教案

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1、三角恒等变换及应用教学目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲

2、内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽

3、量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；；。（2）辅助角公式，。4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是

4、根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。二．典例分析　(2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．　(1)∵f(x)＝2sin，∴f＝2sin＝2sin＝.(2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，∴2sinα＝，2sin＝.即sinα＝，cosβ＝.∴cosα＝，sin

5、β＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sinα＝，α∈，则＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cosα＝，则tan＝(　　)A．－3　　　　　　　　B．－C．－D．－7解析：(1)＝＝cosα－sinα，∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－.∴原式＝－.(2)依题意

6、得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.答案：(1)－　(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入　(2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．　(1)∵f(x)＝2cos2－sinx＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos，∴周期T＝2π，f(x)的值域为．(2)∵f＝，∴1＋2cosα＝，即cosα＝－.∵α为第二象限角，∴sinα＝.∴＝＝＝＝.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确

7、，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin＋cosα＝，则sin的值为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.(2)若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：(1)由条件得sinα＋cosα＝，即sinα＋cosα＝.∴sin＝.(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(

8、1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：(1)A　(2)2角的变换典题导入　(1)(2012·温州模拟)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为___