2018版高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法导学案 新人教a版必修4

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1、2.5.1　平面几何中的向量方法学习目标　1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关

2、系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一　几何性质及几何与向量的关系设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.思考1　证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案　可用向量共线的相关知识：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案　可用向量垂直的相关知识：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理　平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二　向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几

3、何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何关系.类型一　用平面向量求解直线方程例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.解　(1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2).∴(－2)×(x＋1)－(－

4、2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程.同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4).∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.反思与感悟　利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练1　在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程.解　＝(3，4)，＝(－8，6)，∠A的平分线的一个方向向量为a＝＋＝＋＝.设P(x，y)是角

5、平分线上的任意一点，∵∠A的平分线过点A，∴∥a，∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.整理得7x＋y－29＝0.类型二　用平面向量求解平面几何问题例2　已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).(1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1).∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF.(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(2，1)，∵∥，∴x＝

6、2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由∥，得y＝－2x＋4，由得∴点P的坐标为(，).∴

7、

8、＝＝2＝

9、

10、，即AP＝AB.反思与感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明　方

11、法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0