高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课堂导学案新人教a版必修4

《高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课堂导学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.5.1平面几何中的向量方法课堂导学三点剖析1.用向量方法解决简单的平面几何问题【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b,=a+b.而

2、

3、=

4、a-b

5、=,∴

6、

7、2=5-2a·b=4.①又

8、

9、2=

10、a+b

11、2=a2+2a·b+b2=

12、a

13、2+2a·b+

14、b

15、2=1+4+2a·b.由①得2a·b=1,∴

16、

17、2=6,∴

18、

19、=,即AC=.温馨提示(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的

20、向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.(3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2.向量坐标运算的应用【例2】如右图已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.求证：=.思路分析：可以建立直角坐标系，要证明

21、

22、=

23、

24、，只要求出A与E、F点的坐标即可.证明：如题图，以正方形ABCD的CD所在直线为x轴,以C点为原点建立直

25、角坐标系.设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为（-1，1），（0，1）若E点的坐标为（x,y），则=（x,y-1）,=(1,-1).∵∥,即x+y=1①又∵

26、

27、=

28、

29、.∴x2+y2=2.②由①②得E点的坐标为（，）.如果设F点的坐标为（x′,1），由=（x′,1）与=（，）共线，得x′-=0，解得x′=-(2+)，即点F的坐标为（-2-，1）.∵=(-1-,0),=(,).∴

30、

31、=1+=

32、

33、.即AF=AE.温馨提示由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是

34、在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.3.将平面几何问题转化为向量问题【例3】如下图三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°,D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB=∠FDC.思路分析：建立适当的坐标系，利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.解析：如题图，建立直角坐标系，设A（2，0），C（0，2），则D（0，1），于是=（-2，1），=（-2，2），设F（x,y）,由⊥，得·=0，即（x,y）·(-2,1)=0,∴-2x+y=0.①又F点在AC上，则∥.而=

35、（-x,2-y）,因此2（-x）-(-2)(2-y)=0,即x+y=2.②由①②式解得x=,y=,∴F(,),=(,),=(0,1)·=,又·=

36、

37、

38、

39、cosθ=cosθ,∴cosθ=,即cos∠FDC=,又cos∠ADB=,∴cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC.温馨提示在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F满足的关系除了BF⊥AD,还有F点在AC上.点在直线上问题往往转化成两向量共线，利用两向量共线的条件求解.各个击破类题演练1用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：如右图，设四边形ABCD的对角

40、线AC、BD交于O点且互相平分（即=，=）则=+=+=+=因此∥，且

41、

42、=

43、

44、因此四边形ABCD为平行四边形.变式提升1如右图，平行四边形OACB中，BD=DC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA.解析：设E′是线段BA上的一点，且使BE′=BA,∴只要证E，E′重合即可.设=a，=b，则=a，=+=b+a，∵=-b,=a-又∵3=∴3(-b)=a-∴=(a+3b)=(b+a)∴=∴O、E′、D三点共线.∴E、E′重合，∴BE=BA.类题演练2如果正方形OABC的边长为1，点D、E分别是AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值.解：分别

45、以OA、OC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D（1，），E（，1），∴=（1，），=（，1）.∴cos∠DOE=变式提升2如右图P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：（1）PA=EF；（2）PA⊥EF.证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，

46、

47、=λ，则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0），∴=（-λ，1-λ），=（λ-1，-λ）.（1）∵

48、

49、2=（-λ）2+（1-λ）2=λ2-+1，

50、

51、2=（λ-1）2+（-λ）2=λ2-+1，∴

52、

53、2=

54、

55、2，故PA=EF.(2)∵·=（-λ）

56、（λ-1）+（1-λ）·(-λ)=0,∴⊥,即PA⊥EF.类题演练3已知直角△ABC,∠C=90°，设AC=m，BC=n，（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB；（2）若E