2018版高中数学 第二章 平面向量导学案 新人教a版必修4

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1、第二章平面向量1　向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.一、向量a、b共线例1　如图，已知共线向量a、b，求作a＋b.(1)a、b同向；(2)a、b反向，且

2、a

3、＞

4、b

5、；(3)a、b反向，且

6、a

7、＜

8、b

9、.作法　在与a平行的同一条直线上作出三个向量＝a，＝b，＝a＋b，具体作法是：当a与b方向相同时，a＋b与a、b的方向相同，长度为

10、a

11、＋

12、b

13、；当a与b方向相反时，a＋b与a、b中长度长的向量方向相同，长度为

14、

15、a

16、－

17、b

18、

19、.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a垂直的方向稍加平移，然后分别标

20、上a，b，a＋b.作图如下：例2　如图，已知共线向量a、b，求作a－b.(1)a、b同向，且

21、a

22、＞

23、b

24、；(2)a、b同向，且

25、a

26、＜

27、b

28、；(3)a、b反向.作法　在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.事实上a－b可看作是a＋(－b)，按照这个理解和a＋b的作图方法不难作出a－b，作图如下：二、向量a、b不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.例3　如图，已知向量a、b.求作：(1)a＋b；(2)a－b.作法1　(应用三角形法则)(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O.第一步：作＝a，方法是将一个三角板的直角边与a重合，

29、再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取

30、

31、＝

32、a

33、，并使与a同向.第二步：同第一步方法作出＝b，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把作成与b的方向相反.)第三步：作，即连接OB，在B处打上箭头，即为a＋b.作图如下：(2)第一步：在平面上a，b位置之外任取一点O；第二步：依照前面方法过O作＝a，＝b；第三步：连接AB，在A处加上箭头，向量即为a－b.作图如下：点评　向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.作法2　(应用平行四边

34、形法则)在平面上任取一点A，以点A为起点作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则＝a＋b，＝a－b.作图如下：点评　向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作＝b，可实际上作的是＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.2　向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的

35、运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1化简下列各式：(1)(2－)－(－2)；(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)].解　(1)(2－)－(－2)＝2－－＋2＝2＋＋＋2＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)＝－a＋b.点评　向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法

36、则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.解析　如图，因为＋＋＝0，即＝－(＋)，即＝＋，延长AM，交BC于D点，所以D是BC边的中点，所以＝2，所以＝，所以＋＝2＝3，所以m＝3.答案　3点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表

37、示，列出向量方程，对比系数求参数的值.三、表示向量例3如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示、、、、.解　因为DE∥BC，＝，所以＝＝b，＝－＝b－a，由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)，又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，所以＝＝(b－a)，＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).点评　用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成