2018版高中数学 第三章 概率 3.3.1 几何概型学案 新人教a版必修3

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1、3．3.1　几何概型[学习目标]　1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一　几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考　几何概型与古典概型有何区别？答　几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事

2、件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二　几何概型的概率公式P(A)＝.思考　计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答　首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一　与长度有关的几何概型例1　取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解　如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P(A)＝.反

3、思与感悟　在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪训练1　某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，

4、才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.题型二　与面积有关的几何概型例2　射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解　如图，记“射中黄心”为事件B.因为中靶点随机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P(B)＝＝0.01

5、.反思与感悟　解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2　一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解　如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16

6、＝184(m2)．所以P(A)＝＝≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.题型三　与体积有关的几何概型例3　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．解　如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，区域d

7、(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh·.所以点M到底面的距离小于的概率为P＝.反思与感悟　如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝.跟踪训练3　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心

8、的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝＝.题型四　与角度有关的几何概型例4　如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线O