2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（二）学案 新人教a版必修5

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1、1.2应用举例（二）[学习目标]1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决测量高度的实际问题.2.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题．知识点一仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示．知识点二坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tanα＝)，如图．题型一测量高度问题例1如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠

2、BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.反思与感悟(1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．(2)与高度有关的问题往往涉及直角三角形

3、的求解．在作示意图时要加强立体思维的锻炼，分清直角等几何元素．跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案a，a解析甲楼的高为atan60°＝a，乙楼的高为a－atan30°＝a－a＝a.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果

4、保留两个有效数字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·＝h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(h)2＋h2－2·h·h·，解得h2＝≈176.4，∴h≈13m.题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时

5、的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°

6、＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.又∵∠BCD∈(0°，90°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方向角和方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为

7、解三角形问题．跟踪训练2甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少nmile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为xnmile，则AC＝x，由正弦定理得sinθ＝＝，而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.1．在某测量中，设A

8、在B的南偏东34°27′，则B在A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1>d2B．d120mD．d2<20m答案B解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1