2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（一）学案 新人教a版必修5

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1、1.2应用举例（一）[学习目标]　利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题．知识点一　基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．知识点二　有关的几个术语(1)方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．(2)方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考　上两图中

2、的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．(3)视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．知识点三　解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．(1)解题思路(2)基本步骤①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验所求的解是否符合

3、实际问题，从而得出实际问题的解．(3)主要类型题型一　测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离例1　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)A．10海里B.海里C．5海里D．5海里答案　D解析　根据题意，可得右图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．反思与感悟　求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确

4、定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．跟踪训练1　如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.答案　60解析　由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin30°＝60(m)．题型二　测量两个不可到达点间的距离例2　在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队

5、分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵＝，∴BC＝a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.反思与感悟　测量两个不可到达的点之间的距离问题时，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形

6、的边长问题，然后在相关三角形中利用正、余弦定理计算其他边．跟踪训练2　如下图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？解　由正弦定理得AC＝＝＝＝10(1＋)(米)，BC＝＝＝20(米)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝10(米)．∴A，B两点间的距离为10米．1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)A．γ，c，αB．b，c，αC．c，α，βD．b，α，γ答案　D解析　a，c均隔河，故不

7、易测量、测量b，α，γ更合适．2．一艘船上午9∶30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)海里/小时．A．8(＋)B．8(－)C．16(＋)D．16(－)答案　D解析　由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．3．2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场

8、，一条搜救犬从A处沿正北