(全国版)2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线学案

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1、第7讲 抛物线板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.其数学表达式:

2、MF

3、=d(其中d为点M到准线的距离).考点2 抛物线的标准方程与几何性质[必会结论]抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)x1x2=,y1y2=-p2.(2)弦长

4、AB

5、=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线

6、相切.(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.[考点自测]                     1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(  )(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(  )(3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.(  )(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(  )(5)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,若A(x1,y

7、1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长

8、AB

9、=x1+x2+p.(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.[2018·江西八校联考]已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2,则a=(  )A.4B.2C.D.答案 C解析 化为标准方程x2=y,据题意=2×2,∴a=.3.[课本改编]设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(  )A.4B.6C.8D.12答案 B解析 抛物线准线方程x=-2,∴点P到准线的距离为6,∴P到焦点的距离也为6,选B.

10、4.[课本改编]已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(  )A.y2=±2xB.y2=±2xC.y2=±4xD.y2=±4x答案 D解析 由已知知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=±4x.故选D.5.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,

11、AB

12、=4,则AB中点C的横坐标是(  )A.2B.C.D.答案 C解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则

13、AB

14、=x1+x2+p=4,又p=1,∴x1+x2=3,

15、∴点C的横坐标是=.故选C.6.[2018·唐山模拟]若抛物线x2=ay过点A,则点A到此抛物线的焦点的距离为________.答案 解析 由题意可知,点A在抛物线x2=ay上,所以1=a,解得a=4,得x2=4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为yA+1=+1=.板块二 典例探究·考向突破考向 抛物线的方程及几何性质                     例1 (1)[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(  

16、)A.B.1C.D.2答案 D解析 易知抛物线的焦点为F(1,0),设P(xP,yP),由PF⊥x轴,可得xP=1,代入抛物线方程,得yP=2(-2舍去),把P(1,2)代入曲线y=(k>0),得k=2.(2)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

17、AB

18、=9.①求该抛物线的方程;②O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.解 ①由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定

19、义得

20、AB

21、=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.②由①得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).又y=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.触类旁通求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时,要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种;(2)要注

22、意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系;(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.【变式训练1】 (1)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛

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