（全国版）2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线学案

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1、第7讲　抛物线板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：

2、MF

3、＝d(其中d为点M到准线的距离)．考点2　抛物线的标准方程与几何性质[必会结论]抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长

4、AB

5、＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线

6、相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(5)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y

7、1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长

8、AB

9、＝x1＋x2＋p.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．[2018·江西八校联考]已知抛物线y＝ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2，则a＝(　　)A．4B．2C.D.答案　C解析　化为标准方程x2＝y，据题意＝2×2，∴a＝.3．[课本改编]设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A．4B．6C．8D．12答案　B解析　抛物线准线方程x＝－2，∴点P到准线的距离为6，∴P到焦点的距离也为6，选B.

10、4．[课本改编]已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x答案　D解析　由已知知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，

11、AB

12、＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)A．2B.C.D.答案　C解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

13、AB

14、＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，

15、∴点C的横坐标是＝.故选C.6．[2018·唐山模拟]若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．答案　解析　由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.板块二　典例探究·考向突破考向　抛物线的方程及几何性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　

16、)A.B．1C.D．2答案　D解析　易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴，可得xP＝1，代入抛物线方程，得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝(k>0)，得k＝2.(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

17、AB

18、＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．解　①由题意得直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定

19、义得

20、AB

21、＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.触类旁通求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注

22、意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【变式训练1】　(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛