2019版高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性优选学案

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1、第6讲　函数的奇偶性与周期性考纲要求考情分析命题趋势1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.2017·全国卷Ⅱ，142017·山东卷，142016·天津卷，62015·广东卷，31.对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大.分值：5分1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函

2、数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期

5、性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有

6、两条对称轴x＝a，x＝b(a

7、b－a

8、.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上

9、关于坐标原点对称．(　√　)(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　×　)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　√　)解析　(1)正确．根据函数奇偶性的定义，知f(x)，f(－x)必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f(x)在点x＝0处没有定义，如f(x)＝，则f(0)不存在．(3)正确．函数y＝f(x＋a)关于直线x＝0对称，则函

10、数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(4)正确．函数y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．2．下列函数为偶函数的是(　D　)A．f(x)＝x－1　　　B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x　　　D．f(x)＝2x＋2－x解析　易判断A，B项中的函数为非奇非偶函数；对于C项，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)为奇函数；对于D项，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)为偶函数．故选D．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2

11、)＝__12__.解析　依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12.4．函数f(x)的定义域为R，且对于x∈R，恒有f(x＋2)＝f(x)．当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－2x，则f(2019)＝__3__.解析　由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期T＝2的周期函数．因为x∈[2,4]时，f(x)＝x2－2x，所以f(2019)＝f(1008×2＋3)＝f(3)＝32－2×3＝3，即f(2019)＝3.5．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝_