届高考数学一轮复习第章函数导数及其应用第讲函数的奇偶性与周期性学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第3讲　函数的奇偶性与周期性板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　函数的奇偶性考点2　函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期122019版高考数学一轮复习全册学案如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[必会结论]1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，

2、即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(

5、a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)(3)函数y＝＋既是奇函数又是偶函数．(　　)(4)函数f

6、(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2018)＝2018.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．[2017·北京高考]已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数答案　A解析　∵函数f(x)的定义域为R，122019版高考数学一轮复习全册学案f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝x在R上是减函数，∴函数y＝－x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上

7、是增函数，∴函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选A.3．[课本改编]如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)答案　B解析　设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．4．[课本改编]若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.答案　　0解析　因为偶函数的定义域关

8、于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为偶函数，所以二次函数的对称轴－＝0，易得b＝0.5．[2016·四川高考]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00，则x的取值范围是____

9、____．答案　(－1,3)解析　∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函数，122019版高考数学一轮复习全册学案∴f(

10、x－1

11、)>f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴

12、x－1

13、<2，∴－2

14、x

15、＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝log2(x＋)；(3)f(x)＝解　(1)由于f(x)＝x2－

16、x

17、＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于

18、原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝－log2(x＋)＝－f(x)，故f(x)