2019版高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第14讲导数与函数的单调性优选学案

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1、第14讲　导数与函数的单调性考纲要求考情分析命题趋势了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2017·全国卷Ⅰ，92017·江苏卷，112017·浙江卷，72016·全国卷Ⅲ，21导数与函数的单调性是高考中的热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大.分值：5～8分函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，且导函数f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0.(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内__单调递增_

2、_.(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内__单调递减__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　×　)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)解析　(1)错误．可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，故f′(x)>0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝

3、3，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　B　)A．(－1,1]　　　B．(0,1]　　　　C．[1，＋∞)　　　D．(0，＋∞)解析　函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0

4、率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．4．已知函数f(x)＝mx3＋3(m－1)·x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝____.解析　∵f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x<0，得0

5、一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)令f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)令f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判断函数在每个相应区间内

6、的单调性．【例1】(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则(　C　)A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析　由题易知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A，B项；又f＝ln＋ln＝ln，f＝ln＋ln＝ln，所以

7、f＝f＝ln，所以排除D项．故选C．【例2】已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解析　(1)f′(x)＝－－，f′(1)＝－－a.由题意，得－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知，f′(x)＝－－＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)．由f′(x)>0，得x2－4x－5>0(x>0)，解得x>5；由f′(x)<0，得x2－4x－5<0(x>0)，解得0

8、二　已知函数的单调性求参数的范围由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不