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1、向量应用举例考点梳理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．2．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数
2、量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．向量应用举例考向一 向量在平面几何中的应用【例1】►在△ABC中，(＋)·＝
3、
4、2，则△ABC的形状一定是( )．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【训练1】已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且
5、
6、＝
7、
8、＝
9、
10、，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O
11、，N，P依次是△ABC的( )．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心考向二 向量在三角函数中的应用【例2】►设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求
12、b＋c
13、的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.【训练2】已知向量a＝，b＝cos，－sin，且x∈.(1)求a·b及
14、a＋b
15、；(2)若f(x)＝a·b－2λ
16、a＋b
17、的最小值是－，求λ的值．考向三 向量在解析几何中的应用
18、【例3】►已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．【训练3】已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．考向四高考中平面向量与三角函数的交汇问题例4(2012·江苏)在△ABC中，已知·＝3·.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝，求A的值．考向五空间向量在立体几何中的应用例5(2012·天津)如图，在四
19、棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．[审题视点]直接用向量法解决，即建系求点坐标、求向量坐标，用向量知识解决．(1)证明 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B－，，0，P(0,0,2)．易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，于是·＝0，所以PC⊥AD.(2)解 ＝(0,1，－
20、2)，＝(2，－1，0)．设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，则即不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而sin〈m，n〉＝.所以二面角APCD的正弦值为.(3)解 设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．由此得＝.由＝(2，－1,0)，故cos〈，〉＝＝＝，所以＝cos30°＝，解得h＝，即AE＝.用向量法解答这类题要做到以下几点：①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线，如果图中没有现成的，就需进行垂直转化；②求点的坐标及有关计算
21、要准确无误，这就需要在平时加强训练；③步骤书写要规范有序．
