空间向量应用举例.doc

《空间向量应用举例.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、空间向量应用举例空间向量在数学中占有极其重要的地位.空间向量是每年高考必考的知识点之一，也是历年高考的热点.用空间向量解答数学问题，关键在于恰当地引入向量并恰当地选取基向量，再根据题目要求，通过向量进行运算或证明，最后恰当的“翻译”运算结果，从而解决相应的数学问题。利用空间向量解决垂直关系、空间平行关系、距离问题、夹角问题相当方便，甚至解决某些数学综合问题也相当给力。毫不夸张地说，在高中阶段引入向量知识，极大地拓展了学生的思维空间，促进了学生的智力发展，向量知识毫无疑问地成为高中数学知识体系里最耀眼的明珠之一。

2、下面略举几例，就当抛砖引玉吧。靳宪品·赵艳芝·清大世纪姓名：靳宪品教龄：26年老师介绍：1986年参加工作，山东省高级教师。1987年4月获县级教学新秀;1990年5月市级教学能手;1996年5月省数学辅导二等奖，优秀教师;2002年12月罗庄区教学能手;2003年7月获罗庄区“骨干教师”称号。曾任教于人大附网校的高三数学把关讲课教师，解题绝招课程主讲教师，教学课堂生动，善于用形象化的语言说明抽象的数学概念，独到的解题分析法，学生听来自然、明白！确保了良好的教学效果，深得学生一致好评。姓名：赵艳芝教龄：8年老师

3、介绍：清华大学附属中学数学学科骨干教师，海淀区名师工作站成员，优秀青年教师。课堂教学既激情洋溢，又清晰严谨，重难点把握得当，考点捕捉精准，讲解有图有据，由浅入深，深得学生喜欢。姓名：清大世纪教龄：年老师介绍：靳宪品的微课程赵艳芝的微课程清大世纪的微课程我们探讨2011年高考全国卷Ⅰ（理科）第18题．如图（1），四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A－PB－C的余弦值．ABCDEFP图（1）途径一：

4、通过坐标求法向量的夹角进行转化，在此不再叙述．途径二：通过空间向量的运算进行转化．作AE⊥PB于E．因为PD⊥面ABCD，BD⊥BC，所以由三垂线定理得BC⊥PB，则求二面角A－PB－C的平面角转化为求向量与的夹角．连结DE．易得AD⊥面PDB，又AE⊥PB，所以由三垂线定理逆定理得DE⊥PB．不妨令AD=1，求得AB=PB=2，DE=／2，AE=／2，BE=3／2，又==+2•+=7．另外==++－2∣∣∣∣cos﹤，﹥，解得cos﹤，﹥=－2∕7．途径三：我们先引入一个结论：如图（2），直二面角―l―中，直

5、线AB且ABl=A，CD且CDl=C．若直线AB、CD与交线l所成的角分别为、，且

6、AC

7、=m，则图2（222）（2（1）ABCDβlEFxyz异面直线AB与CD的距离=m／．本文用坐标法证明：如图（1），以C为原点建立空间坐标系C—xyz，则A(0，m，0)．在直线AB上取点E，使

8、AE

9、=1，在直线CD上取点F，使

10、CF

11、=1，则=（sin，±cos，0)，=(0，±cos，sin)．设与、都垂直的向量为=(x，y，z)，有·=0，·=0，解方程组，可取=(±cot，1，±cot)，则异面直线AB与CD的距

12、离=∣·／∣∣∣=m／．将二面角转化为点到平面的距离．可以选择求点A到面PBC或点C到面PAB的距离，在此我们选择后者．因为CD∥AB，从而CD∥面PAB，所以点C到面PAB的距离转化为CD到面PAB的距离；因为CD与PA是异面直线，所以转化为异面直线CD与PA的距离；因为面PDA⊥面ABCD，所以可用本文结论．不妨令AD=1，∠PAD=，CD与AD所成角为，代入公式得点C到面PAB的距离为∕7，又BC⊥PB，BC=1，则sin=∕7，因为平面角为钝角，所以cos=－2∕7．我们下面再用向量法证明前一段的那个作

13、业题。求证：证明：令，，（Ｏ为原点）。所以，，．利用余弦定理得所以，左边=