北京各区数学一模试题目分类整理汇编立体几何_1

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1、2011北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何1.(朝阳理16)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面.若.(Ⅰ)求证:平面;ABPCD(Ⅱ)侧棱上是否存在点,使得平面?若存在,指出点的位置并证明,若不存在,请说明理由;(Ⅲ)求二面角的余弦值.解法一:(Ⅰ)因为,所以.又因为侧面底面,且侧面底面,所以底面.而底面,所以.在底面中,因为,,所以,所以.又因为,所以平面.……………………………4分(Ⅱ)在上存在中点,使得平面,EFABPCD证明如下:设的中点是,连结,,,则,且.由已知,GHABPCD所

2、以.又,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.……………8分(Ⅲ)设为中点,连结,则.又因为平面平面,所以平面.过作于,连结,由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设,则,.在中,,所以.所以,.即二面角的余弦值为.………………………………13分zyxABPCD解法二:因为,所以.又因为侧面底面,且侧面底面,所以底面.又因为,所以,,两两垂直.分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图.设,则,,,,.(Ⅰ),,,所以,,所以,.又因为,所以平面.………………………………4分(

3、Ⅱ)设侧棱的中点是,则,.设平面的一个法向量是,则因为,,所以取,则.所以,所以.因为平面,所以平面.………………………………8分(Ⅲ)由已知,平面,所以为平面的一个法向量.由(Ⅱ)知,为平面的一个法向量.设二面角的大小为,由图可知,为锐角,所以.即二面角的余弦值为.………………………………13分1.(朝阳文17)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面,.若.(Ⅰ)求证:平面;ABPCDE(Ⅱ)设侧棱的中点是,求证:平面.解:(Ⅰ)因为,所以.又因为侧面底面,ABPCDE且侧面底面,所以底面.而底面,

4、所以.在底面中,因为,,所以,所以.又因为,所以平面.……………………………6分EFABPCD(Ⅱ)设侧棱的中点为,连结,,,则,且.由已知,所以.又,所以.且.所以四边形为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.………………………………………………………13分PABCDQM1.(丰台理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证

5、:PA//平面BMQ;(Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.PABCDQM证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN.∵BC∥AD且BC=AD,∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,又∵点M在是棱PC的中点,∴MN//PA∵MN平面MQB,PA平面MQB,∴PA//平面MBQ.(Ⅱ)∵AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.PABCDQMNxy

6、z又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.…………………9分另证:AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°.∵PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.……9分(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥

7、平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的法向量为;,,,.设,则,,∵,∴,∴…………………12分在平面MBQ中,,,∴平面MBQ法向量为.∵二面角M-BQ-C为30°,,∴.……………………14分1.(丰台文16)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,BC=AD,PA=PD,Q为AD的中点.(Ⅰ)求证:AD⊥平面PBQ;(Ⅱ)若点M在棱PC上,设PM=tMC,试确定t的值,使得PABCDQMNPA//平面BMQ.证明:(Ⅰ)AD//BC,BC=AD,Q为AD

8、的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.……………………6分(Ⅱ)当时,PA//平面BMQ.连接AC,交BQ于N,连接MN.∵BCDQ,∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,∵点M是线段PC的中点,∴MN//PA.∵MN平面BMQ,P

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