北京各区数学一模试题目分类整理汇编立体几何

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1、2011北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何1.（朝阳理16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（Ⅰ）求证：平面；ABPCD（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.解法一：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，，所以，所以.又因为，所以平面.……………………………4分（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，EFABPCD证明如下：设的中点是，连结，，，则，且.由已知，GHABPCD所以.又，所以，且，

2、所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.……………8分（Ⅲ）设为中点，连结，则.又因为平面平面，所以平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则,.在中，，所以.所以，.即二面角的余弦值为.………………………………13分zyxABPCD解法二：因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.又因为，所以，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，，，，.（Ⅰ），，,所以，，所以，.又因为，所以平面.………………………………4分（Ⅱ）设侧棱的中点是，则，.设平面的一

3、个法向量是，则因为，，所以取，则.所以，所以.因为平面，所以平面.………………………………8分（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.………………………………13分1.（朝阳文17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面，.若.（Ⅰ）求证：平面；ABPCDE（Ⅱ）设侧棱的中点是，求证：平面.解：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，ABPCDE且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，，所以，所以.又因为，所以平面.

4、……………………………6分EFABPCD（Ⅱ）设侧棱的中点为，连结，，，则，且.由已知，所以.又，所以.且.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.………………………………………………………13分PABCDQM1.（丰台理16）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA//平面BMQ；（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅲ）若二面角

5、M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．PABCDQM证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．∵BC∥AD且BC=AD，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又∵点M在是棱PC的中点，∴MN//PA∵MN平面MQB，PA平面MQB，∴PA//平面MBQ．（Ⅱ）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．PABCDQMNxyz又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ

6、平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………………9分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，，∵，∴，∴………

7、…………12分在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M-BQ-C为30°，，∴．……………………14分1.（丰台文16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PABCDQMNPA//平面BMQ．证明：（Ⅰ）AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD

8、的中点，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．……………………6分（Ⅱ）当时，PA//平面BMQ．连接AC，交BQ于N，连接MN．∵BCDQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN//PA．∵MN平面BMQ，P