小学奥数：7-8-1 几何计数（一）.教师版

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1、7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成个部分；n个圆最多分平面的部分数为n

2、(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似

3、于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题【解析】如图：6条．【

4、答案】条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A）3(B)4(C)5(D)6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。【答案】【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第7题【

5、解析】共有3个，除第二个外其余都是。【答案】个【例3】两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问：至多有多少条直线？【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第12题【解析】至多有6条直线，如图： 【答案】条【例1】下图是王超同学为"环境保护专栏"设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是________。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题【

6、解析】观察图形发现是：线段最多【答案】线段最多【例2】下面的和图中共有____个正方形．【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】解答【解析】在的图中，边长为1的正方形个；边长为2的正方形个；边长为3的正方形个；边长为4的正方形个；边长为5的正方形有，总共有(个)正方形．在的图中边长为1的正方形个；边长为2的正方形个；边长为3的正方形个；边长为4的正方形个；总共有(个)．【答案】个【巩固】请看下图，共有多少个正方形？【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为1

7、6的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．【答案】个【巩固】如下图是一个围棋盘，它由横竖各19条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正方形？【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第15题【解析】我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点E作为代表点．然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方．通过观察，不难发现：（1）点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．（2）反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．这

8、样一来，就将“小正方形的