小学奥数：7-8-2 几何计数（二）.教师版

《小学奥数：7-8-2 几何计数（二）.教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7-8-2.几何计数（二）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成个部分；n个圆最多分平面的部分数为n

2、(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于

3、角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而

4、思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到个正方形．⑴⑵⑶<考点>图形计数【答案】个【巩固】如图，的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．的正方形：9个；的正方形：4个；的正方形：1个；以正方形对角线为边长的正方形：4个；以长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。以点阵中的三个点

5、为顶点构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有种。【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第11题【解析】在本题中，三角形的面积是1，底和高只能一个是1，一个是2，可以有以下三种情况：【答案】【例1】一块木板上有13枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第2题【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有5个、1个、4个、1个，共11个。【答案】个【例2】在3

6、×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第10题，10分【解析】不同类型的涂法有3种，如下图A说明：①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样，仅有一列涂有3个阴影方格．②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方

7、格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．【答案】种【例1】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个．【考点】复杂的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级，第4题【解析】包含1个基本正方形的带苹果正方形有1个，包含4个基本正方形的带苹果正方形有4个，包含9个基本正方形的带苹果正方形有6个，包含16个基本正方形的带苹果正方形有2个，所以共有(个)．<考点>图形的计数方法之——分类计数【答案】个【巩固

8、】图中，不