数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解（基础）

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1、精品中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进

2、一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题　　如果一个命

3、题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.精品如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够

4、构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；　（为正整数）（，为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？【思路点拨】这道题把很多条件都隐藏了，乍

5、一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形.精品【答案与解析】设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2∴△DEF是直角三角形，且∠DEF

6、=90°.【总结升华】本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（　　）.A.B.C.D.【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理

7、即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，精品∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD=．故选B．【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．举一反三：【变式】（2011四川广安）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点