有限元和数值方法-讲稿子20几何非线性有限元分析报告材料课件

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1、实用标准文案第8章几何非线性有限元分析8.1大变形条件下的应变和应力度量一．应变度量结构的初始构型：P：，Q：t时刻的构型：P’：，Q’：精彩文档实用标准文案两种构型下的坐标可相互转化：*拉各朗日（Lagrange）描述基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。*欧拉（Eular）描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。精彩文档实用标准文案根据以上变换：，定义：，PQ线段的长度：P’Q’变形后的长度：精彩文档实用标准文案,Green-Lagrange应变（

2、Green应变）,Almansi应变精彩文档实用标准文案定义位移向量：，Green应变精彩文档实用标准文案Almansi应变在小应变情况下：工程应变Cauchy应变二．应力度量精彩文档实用标准文案欧拉应力张量（Green应力张量）：表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力：，变形前的应力：需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：（1）Lagrange规定：精彩文档实用标准文案（1）Kirchhoff规定：与坐标变换规律相同：精彩文档实用标准文案，：第一类Piola-Kirchho

3、ff应力（Lagrange应力张量），非对称，：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称各种应力张量之间的关系：（1）由质量守恒：（2），精彩文档实用标准文案（3），（4）注意：是非对称张量，是对称张量。精彩文档实用标准文案8.2几何非线性问题的表达格式虚位移原理（虚功原理）：虚功原理的初始参考构型表示形式：为了便于求解：将应力和应变分解成：精彩文档实用标准文案从t到时刻引起的应力增量从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解：精彩文档实用标准文案平衡方程的线性化（1）物理方程的线性化：对于弹性材

4、料，该关系式准确的。如果是小变形，则有材料的弹性常数张量。（2）求解格式的进一步线性化：精彩文档实用标准文案带入虚功方程，可获得用位移和应变表示的虚功方程：精彩文档实用标准文案8.3有限元求解方程及解法一．有限元方程：静力问题：按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。坐标：，，精彩文档实用标准文案位移：，代入虚功原理：，精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案，精彩文档实用标准文案经过集成后，可获得有限元控制方程：该

5、方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中，刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。精彩文档实用标准文案另一方面，右端项与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。求解方法：可采用求解物理非线性问题的方法求解。三．有限元方程的解法基本思想：在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。这些方法包括：直接迭代法；N－R方法等。因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）；外层循环（迭代）：对时间步迭代（荷载增量步）内层循环：求解各时间步导出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。精彩文档

6、实用标准文案四．平衡路径的追踪方法：弧长法精彩文档实用标准文案8.4稳定性问题初始稳定性问题（初始屈曲等）精彩文档实用标准文案稳定性控制方程（屈曲方程）非线性方程：稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？也就是：，是否有非零解？精彩文档实用标准文案注意：非线性刚度矩阵是由初始内力形成的刚度矩阵。初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题，则初始内力与外荷载成正比。例如，梁

7、的屈曲问题，则内力与轴向荷载p成正比。此时，。失稳条件：求解上述方程，可求出失稳荷载。精彩文档