有限元与数值方法-讲稿20几何非线性有限元分析课件

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1、第8章几何非线性有限元分析8.1大变形条件下的应变和应力度量一.应变度量结构的初始构型「兀（心123）P：I,Q：°兀+〃°兀t时刻的构型:'兀（心1,2,3）P'：比，Q'：+〃'兀两种构型下的坐标可相互转化:*拉各朗日（Lagrange）描述tr/000Xi=xz-（兀,兀，xj基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。*欧拉（Eular）描述=°兀（'兀，'兀，'召•）基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。根据以上变换：fX-dX-—~'一dx•—rjx*・d1dQx.JJtdtxi定义：

2、。兀页■,CdsYJPQ线段的长度：P'Q'变形后的长度：Cds)2=d=d0Xjd°x.'XjdfxtCds)-=dfxkdlxk-dQxkd°xk=^xktd°x.^xkfd°x.-8vd°x，丿JJ•JXo•7*Xo•JXod•IXoo勺-Jo%o%/—%),Green-Lagrange应变(Gwen应变)^ds)1-(°ds)2=d1xkd1xk-dQxkd°xk=d1xkd1xk-Qtxktd1xtQtxk-d1xj,TJJAlmansi应变定义位移向量：色=x.-°x.八=5••+c%•5°x.lJ°",rKwfo+•z•Jwro+%fo10匕&UjZk&Uk

3、2ka°x.a°xz.a°x.a°x.

4、JrvAvMXj&xid1x./JJAlmansi应变工程应变Cauchy应变二.应力度量欧拉应力张量（Green应力张量）：表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力：'0—也变形前的应力：b—需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法:(1)Lagrange规定：QdT^L)=tdTi(2)Kirchhoff规定：°九tdTj与坐标变换规律相同：d

5、°Xi=%"XjX（L）=心°v7°dS=g,^ji:第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称°dT｛）=（S’°v.°dS=壮）rdT.I0JIJtl,JJJoSji:第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称各种应力张量之间的关系:（1）由质量守恒：P“V=七pdV=pdctCtxij）dV?7.s/ro72•TVX▼oTmfo•JX•om•JX・or/72加ft17•丿•2Xof/I•f-LXo/de7?.•JXo/77•JXo/Doofm•2Xo/T〃・fo)z2z(・2•Jsro)z4注

6、意：孑加是非对称张量，o'S力是对称张量。8.2几何非线性问题的表达格式虚位移原理（虚功原理）：沁严⑷=皿可皿W=Lsz澎他严羽+丄竹皿川（叫严dV11duSu/（'+&%）=3++f+b知,J=35（Q/+△[+Q/+△[虚功原理的初始参考构型表示形式:J°v弋S汐（代勺）羽=为了便于求解：将应力和应变分解成:f+dC—fC丄c0°ji~0。"十0°ji从t至胖+At时刻引起的应力增量'弋Ji=ji+灼从t至lp+At时刻引起的应变增量»（叫勺J=j（o%）将应变增量进一步分解:0eij+Eij1zrf、=V0Wz,J+0Mj,z+QUkJ0Uk,i+0UkJ0Uk.i

7、)£2QUkJOUk,iJ°vJ°vJ°v平衡方程的线性化（1）物理方程的线性化：OSij=0Dijkl0£kl对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有0Dijkl=Dijkl材料的弹性常数张量。（2）求解格式的进一步线性化:Oy0®Q（0勺）〃V=J）yo»敬/0勺“（0勺）〃卩~jovoDqkio£少（o勺）〃V+[y0^ijkl[0乞Q（o%）+o%Q（o旬）+o%Q（o%）]〃V带入虚功方程，L°S汐（冋）洌+10VJ5/（o7,W=^W-J°v可获得用位移和应变表示的虚功方程:Le购eq（旳）羽+L佝q（冋）羽L佝仪冈）洌-（0。做/〔0勺Q（o%）+o

8、%Q（o夠）+oHkQ（o"ij）】dV）8.3有限元求解方程及解法….有限元方程:静力问题：nk=l按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。伞标.°兀=£他"兀=F」Nktx：十k=，k=位移：％=2＞畑,$）呂k=uik=代入虚功原理:Jovodueooe-j)dVnMJovodueo0ea)dVieNeNeHM目rr3=d=03=mdv“zhM£K」gieI丄2BJoD=0」d「丈KUKL+丈KI