几何非线性有限元分析课件(1)

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1、第8章几何非线性有限元分析8.1大变形条件下的应变和应力度量一.应变度量结构的初始构型:P:,Q:t时刻的构型:P’:,Q’:21两种构型下的坐标可相互转化:*拉各朗日(Lagrange)描述基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数,描述各个量。*欧拉(Eular)描述基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数,描述各个量。21根据以上变换:,定义:,PQ线段的长度:P’Q’变形后的长度:21,Green-Lagrange应变(Green应变),Almansi应变21定义位移向量:,在小应变情况下:工程

2、应变21一.应力度量欧拉应力张量(Green应力张量):表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量变形后表面上的应力:,变形前的应力:需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法:21(1)Lagrange规定:(2)Kirchhoff规定:与坐标变换规律相同:21,:第一类Piola-Kirchhoff应力(Lagrange应力张量),非对称,:第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量,对称各种应力张量之间的关系:(1)由质量守恒:21(2),(3),(4)注意:是非对称张量,是对称张量。2

3、18.2几何非线性问题的表达格式几何非线性问题的有限元分析,通常采用增量分析的方法。考虑直角坐标系内的物体,增量分析的目的是:确定物体在一系列时间点,,处于平衡状态的位移,速度,应变和应力。一.虚位移原理(虚功原理)21:描述初始时刻的物体内各点坐标。:描述时刻t的物体内各点坐标。:描述时刻的物体内各点坐标。,从t到的位移增量:在时刻应用虚功原理:21增量法的求解的基本思想是:t意见时刻的相应是已知的,时刻的相应未知(待求)。由两种方法:(1)完全Lagrange格式(T.L.格式:TotalLagrangeFormulation)以初始时刻的构型

4、为参考构型。(2)更新Lagrange格式(U.L.格式:UpdatedLagrange21Formulation)以t时刻的构型为参考构型。二.完全Lagrange格式单位初始表面上的等效荷载(面力):单位初始质量上的等效荷载(体力):如果荷载不随变形变化(保守力):由质量守恒,可知:2121应力:21因此,虚功原理可表示成:21为了便于求解:将应力和应变分解成:从t到时刻引起的应力增量从t到时刻引起的应变增量将应变增量进一步分解:2121虚功原理可进一步写成:T时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。三.更新的Lagrange格式

5、更新的Lagrange格式的表达式,与完全Lagrange格式类似。所不同的是,参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改成t,即可获得更形的Lagrange格式的表达式。(略)21三.平衡方程的线性化(1)物理方程的线性化:对于弹性材料,该关系式准确的。如果是小变形,则有材料的弹性常数张量。(2)求解格式的进一步线性化:21带入虚功方程,可获得用位移和应变表示的虚功方程:21

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