第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷详解.doc

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1、一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P·Q中元素的个数是A．3B．4C．5D．62．对下列命题的否定，其中说法错误的是A．P：能被3整除的整数是奇数；P：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．P：存在一个四边形的四个顶点不共圆；P：每一个四边形的四个顶点共圆C．P：有的三角形为正三角形：P：所有的三角形不都是正三角形D．P：3．若，则下列不等式：①a＋b

2、

3、a

4、>

5、b

6、③a1，m∈N*，且，则m等于A．11B．10C．9D．88．把函数的图象按向量平移，所得曲线的一部分如图所示，

7、则ω，的值分别是A．1，B．1，－C．2，D．2，－9．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么sinA·cos2（45°－为A．有最大值和最小值0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值也无最小值D．有最大值，但无最小值10．已知x和y是正整数，且满足约束条件的最小值是A．24B．14C．13D．11.511．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A．B．C．D．12．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标为右图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正

8、方形，若直角三角形中较大的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则sin2－cos2的值等于A．1B．C．D．－二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．一个算法如下：第一步：s取值0，i取值1第二步：若i不大于12，则执行下一步；否则执行第六步第三步：计算S＋i并将结果代替S第四步：用i＋2的值代替i第五步：转去执行第二步第六步：输出S则运行以上步骤输出的结果为14．设向量，则的最小值是15．设的取值范围是16．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当时，数列{bn}

9、也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn＝时，数列{dn}也是等比数列.三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边边长为l.求：（1）角C的大小；（2）△ABC最短边的长.18．（本小题满分12分）已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；（2）若函数f（x）在区间[－1，

10、a

11、－2]上单调递增，试确定a的取值范围.19．（本

12、小题满分12分）已知对任意实数a∈[1，2]恒成立；Q：函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.20．（本小题满分12分）已知向量定义函数.（1）求函数g（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的定义域；（3）求函数f（x）的单调递增区间.21．（本小题满分12分）某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图1、图2、图3所示。其中图1的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图2

13、的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元。22．（本小题满分14分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中（1）若数列{an}的通项公式的通项公式；（2）若数列{an}的首项是1，且满足，①证明数列为等差为数列；②求{an}的前

14、n项和Sn参考答案一、ACBCDCBDABAD二、13．3614．15．16．17．（1）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）∴（5分）（2）∵00，（2分）又f（x）为奇函数，∴，∴f（x）＝x2＋2x，∴m＝2y＝f（x）的图象如右所示（6分）（2）由（1）知