初中数学竞赛精品标准教程及练习39：线段、角的相等关系

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（39）线段、角的相等关系一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一.证明两条线段相等常用的定理1.在同一个三角形中，证明等角对等边。2.在两个三角形中，证明全等。3.在平行线图形中①应用平行四边形的性质②用平行线等

2、分线段定理4.运用比例式证明相等：若　则x=y；若则x=y5.应用等量代换、等式性质二.证明两个角相等常用的定理1.在同一个三角形中，证明等边对等角。2.　在两个三角形中，证明全等或相似。3.在平行线图形中①用平行四边形的对角相等②行线的同位角相等，内错角相等③边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等④角（或等角）的余角（或补角）相等⑤用等量代换、等式性质二、例题例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B求证：AD＝BC下面提供三种基

3、本证法：1.把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。辅助线是：过点D作DE∥BC，我们称它为“平移”∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形2.以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。3.由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和BC交于P。　　　　　　　　　　　　　　PD　　　C　　　　D　　　　C　　　　　　　　D　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　A　　E　　B　　A　N　　　M　B　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P求证：PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F∵AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴＝＝①　＝＝②　　　　　　①×②

5、得　∴AE2＝BE2　　　　　∵AE＞0，BE＞0∴AE＝BE，即PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　过点C作CD⊥AF，D是垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：AD被BC平分　　　　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB　　　

6、　G　　　F取BE的中点G，连结DG　　　　　　　　　　　E　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　则DG∥BC，∵AB＝BG　　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　∴AF＝FD，即AD被BC平分例4.已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点　　求证：PM＝PN　　证明：取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝AC＝NRPR∥AB，PR＝MQ∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）∴△PQM≌△NRP，　PM＝PN例5.已知：四边形ABC

7、D中AD＝BC，E，F分别是AB、CD的中点，延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H求证：∠AGE＝∠BHE　证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF∵PE是△ABC的中位线，∴PE∥BC，PE＝BC，同理PF∥AD，PF＝AD∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE∴　∠AGE＝∠BHE例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点求证：AO是∠A的平分线证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的补

8、角∴　∠ABC＝∠FCO∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　∠AOB＝∠FOC又∵OB＝OC∴△ABO≌△FCO∴AO＝FO，　∠F＝∠OAF＝45　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　AO是∠A的平分线（△FCO是△ABC绕点旋转90后的位置）又证：　∵∠BAC＋∠BOC＝