初中数学竞赛精品标准教程及练习40：线段、角的和差倍分

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（40）线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。一.转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角

2、三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二.用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝

3、AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得∠ABD＝2∠F＝2∠C。例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N求证：AH＝2MO，　BH＝2NO证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍）连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO∴四边形AGB

4、H是平行四边形，∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO证明二：（折半法――作出AH，BH的一半）分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB又∵OM∥AD，∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等）同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……例3.　已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点求证：∠DCE＝2∠BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的

5、边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。辅助线如图，证明（略）自己完成　　　　　　　　　　　　　　　　例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，求证：∠BIC＝90＋∠A证明一：（由左到右）∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－（∠ABC＋∠ACB）＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A＝90＋∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明二：（左边－右边＝0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠BIC－（90＋∠A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝180－（∠ABC＋∠ACB）－9

6、0－∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……　证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180　　∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB）　90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A三、练习401.△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD2.△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM1.△ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E2.△ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝A

7、B，连结EC，则CE＝2CD3.已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线求证：BC＝AB＋AD4.已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线求证　：∠DAE＝（∠B＋∠C）5.已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，求证：∠CBD＝（∠ABD－∠D）6.已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F求证：BF＝4EF7.已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交CD于F求证：AE＝BE＋DF8.在