4.1.2 圆的一般方程

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1、精品4.1.2圆的一般方程　　教学目标　　1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．　　3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．　　教学重点与难点　　圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．　　教学过程　　一、复习并引入新课　　师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．　　生：(x－a)2+(y－b)2=r2

2、．　　师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？　　生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．　　师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？　　生A：是的．　　生B：缺少条件A2+B2≠0．　　师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？　　(书写课题：“圆的一般方程”的探求)　　二、新课　　师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？　　生：可仿照直线方程试一试！把标准形

3、式展开，整理得　　x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)　　师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？精品　　生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．　　生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．　　师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？　　生：配方．　　师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？　　(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)　　　　1．

4、当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以　　　　2．　　3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．　　教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．　　师：圆的一般方程有什么特点？　　生A：是关于x、y的二元二次方程．　　师：刚才生A的说法对吗？　　生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．　　师：特殊在什么地方？　　(通过争论与举反例后，由教师总结)　　师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．　　2．没有xy这样的二次项．　　(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+

5、Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？　　生：必要条件．　　师：还缺什么？　　生：D2+E2－4F＞0．　　练习：判断以下方程是否是圆的方程：　　①x2+y2－2x+4y－4=0精品　　②2x2+2y2－12x+4y=0　　③x2+2y2－6x+4y－1=0　　④x2+y2－12x+6y+50=0　　⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0　　⑥x2+y2－12x+6y+F=0　　三、应用举例　　师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？　　生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的

6、优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．　　师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．　　生：　　生B：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．四．例题讲解　　例1．求过三点的圆的方程；分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为，∵三点都在圆上，∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：解之得：精品所以，所求圆的方程为．法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．法三：也可以设圆的标准方程：将点的坐标代入后解方程组也可以解得例2．已知线段的端点的坐标是，端

7、点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得，整理得所以满足的关系为：其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．　　五、小结精品　　注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；　　3°D2+E2－4F＞0．