第14讲 有理式的恒等变形.doc

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1、第14讲有理式的恒等变形可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。——麦克斯韦知识方法扫描有理式的恒等变形可以分为无条件限制等式和有条件限制等式两大类．无条件等式的证明方法很多，常用的有：直接从左到右或从右到左的变形（常常是从较复杂的一边向较简单的一边变形），还有比较法、分析法等．条件等式的证明实质上是有根据，有目标的有理式的恒等变形，条件等式证明的基本方法是对约束条件或待证等式进行适当变形，运用有理式的对称，轮换性质，有关非负数的性质及比较法，消元法和换元法等．在证明过程中，不但要注意已知条件的变换，使之有利于应用，同时也要研究结论的需求，结论部分复杂的

2、也要进行比较变换，使之有利于已知条件的沟通．经典例题解析例1．求证：分析要证A=B，可先证A-B=0，这种方法称为求差法。左–右=这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证明因为同理所以左–右=评注本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．例2证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y

3、+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．证明用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．注意到因式分解公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，故(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．评注换元是恒等变形的常用技巧．例3．（1957年武汉市中学生数学竞赛试题）已知x+y+z=xyz，证明

4、：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证明因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz

5、+xyz=4xyz=右边．故结论成立。例4（1994年蓝溪市初中数学竞赛）已知求证：分析设则a,b,c就可求出，代入所要证的等式，如果这时关于k,x,y,z的有理式相等，那么结论就可证得。解设那么，分别代入，得同理所以。例5．(1993年浙江绍兴市初中数学竞赛试题）已知a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0，求证:分析与证明要证成立，只需证(cy-bz)(z-x)=(az-cx)(y-z)，即cyz-bz2-cxy+bzx=azy-cxy-az2+czx，即只需证z(cy-bz+bx-ay+ax-cz)=0成立,而此时从已知条件a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0可知cy-b

6、z+bx-ay+ax-cz=0，所以成立。同理，，故结论成立。评注这种“执果索因”的方法称为“分析法”。例6．已知abc=1，求证:分析1这个题目的结论比较复杂，我们可以从条件出发，用代入消元的方法消去一个字母，将问题转化为一般恒等式的证明。证明1∵abc=1，∴原式左边==。证毕。分析2从上面的证法可以看出：它的证法就是“通分”----设法将几个分式的分母倍的一样。这实际是利用分式的基本性质将第一个分式的分子、分母乘以bc,第三个分式的分子、分母乘以b得到的。证明2左边==。证毕。例7．已知ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。分析所要证明的式子是一个不等式，左边

7、的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不是很容易，因而可以考虑用反证法来证明。证明假设原式不成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd=1∵ad-bc=1，∴a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc∴a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0∴a+b=b+c=c+d=d-a=0，∴a=-b,b=-c,c=-d,d=a于是a=-a,即a=0,∴b=