Runge—Kutta法求解布拉修斯解

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1、Runge—Kutta法求解布拉修斯解摘要薄剪切层方程主要有三种解法，即相似解，非相似条件下对偏微分方程组的数值解和近似解。布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流动的相似解。本文用四阶Runge—Kutta法求解高阶微分方程的方法，并用matlab编程实现，求得了与实际层流边界层相符合的数值解。关键词：布拉修斯解，相似解，Runge—Kutta法，数值解。1布拉修斯近似解方程二维定常不可压缩层流边界层的方程为：（1）（2）边界条件为将式（1）和式（2）进行法沃克纳—斯坎变换（简称F—S变换），将边界层方程无量纲化

2、，即设（3）（4）得出F—S变换后的动量方程（5）其中k为流动类型指标，横曲率项t为（6）m是量纲一的压力梯度参数，定义为（7）其边界条件变为对于二维平面实壁流动（）可以忽略横曲率项t的轴对称流动，式（5）成为（8）根据相似解的定义，方程（8）中的函数f若式相似的，则它应只与η有关而与x无关，即对x的偏导数应为零。于是方程（8）应成为（9）若fw为常数，则方程（9）的边界条件为；2布拉修斯解布拉修斯于1908年求出了零攻角沿平板流动的解。这时因而方程（9）成为（10）此即布拉修斯方程。对于实壁，，边界条件成为；3Runge—Kutt

3、a法求解Runge—Kutta通过将高阶微分方程化为一阶线性方程组，从而解出高阶方程的数值解。在方程（10）中令（11）于是方程（10）变为（12）当区步长为h，有四阶Runge—Kutta的形式如下（13）使用matlab软件取步长为0.2，迭代100步视作η→无穷大。迭代到第40步左右就收敛了，迭代结果如下（本文附录有全程序源代码）表格1平板层流边界层方程的数值解f0000.332060.20.0066410.0664080.331990.40.026560.132770.331470.60.0597360.198940.330

4、080.80.106110.264710.3273910.165570.329780.323011.20.237950.393780.316591.40.322990.456270.307871.60.420330.516760.296671.80.529520.574760.2829320.650030.629770.266752.20.78120.681320.248352.40.92230.728990.228092.61.07250.772460.206462.81.2310.811510.1840131.39680.846

5、050.161363.21.56910.876090.139133.41.7470.901770.117883.61.92950.923330.0980873.82.1160.941120.08012642.30580.955520.0642354.22.49810.966960.0505214.42.69240.975880.0389744.62.88830.982690.0294854.83.08530.987790.02187353.28330.991550.0159085.23.48190.994250.0113435.43

6、.68090.996160.0079295.63.88030.997480.0054345.84.07990.998380.0036564.27960.998980.0024036.24.47950.999370.0015516.44.67940.999620.0009826.64.87930.999770.0006096.85.07930.999870.0003775.27930.999930.0002217.25.47930.999960.0001297.45.67930.999987.38E-057.65.87930.9999

7、94.15E-057.86.079312.28E-0586.279311.23E-058.26.479316.52E-068.46.679313.38E-068.66.879311.72E-068.87.079318.59E-0797.279314.20E-07由上表可以看出，数值解与布拉修斯解符合程度相当好。4结语(1)布拉修斯用相似变换将N—S方程简化，简化为一维微分方程求解并得到了与实际层流现象相符合的结果。（2）Runge—Kutta方法用来求解高阶微风方程，有相当高的精度。参考文献：[1]陈懋章.粘性流体力学基础.北京.高

8、等教育出版社,2002.[2]复旦大学数学系《微分方程及其数值解》编写组.《微分方程及其数值解》.上海.复旦大学出版社.2001年[3]清华大学工程力学系编.流体力学基础：上册，下册.北京：机械工业出版社，1980年附录源程序代码如下