4阶runge-kutta法求解一阶常微分方程

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1、《MATLAB语言及应用》大作业姓名：学号：学院：班级：题目编号：2013年10月134阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程。一、Runge-Kutta法的数学理论龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个

2、点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。(Yn+1-Yn)/h=f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)另外根据微分中值定理，存在0

3、/2)*K2);K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6)一、Runge-Kutta的算法和流程图在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为0(h5),被广泛应用于解微分方程的初值问题。其算法公式为:流程图：(1)、四阶龙格-库塔方法流程图:（2）、实例求解流程图：一、Runge-Kutta的Matlab实现function[x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数）n=floo

4、r((b-a)/h);%求步数x(1)=a;%时间起点y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数forii=1:nx(ii+1)=x(ii)+h;k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2);k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2);k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3);y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%按照龙格库塔方法进行数值求解end一、Runge-Kutta的算例实现例:求解常微分方程d

5、(y)/d(x)=-2*y+2*x*x+2*x，0≤x≤0.5，y(0)=1.编辑m文件Untitled3：fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x');[x,y]=ode45(fun,[0,0.5],1)>>Untitled3x=00.01250.02500.03750.05000.06250.07500.08750.10000.11250.12500.13750.15000.16250.17500.18750.20000.21250.22500.23750.25000.26250.27500.28750.30000.31250.32500.33750.3500

6、0.36250.37500.38750.40000.41250.42500.43750.45000.46250.47500.48750.5000y=1.00000.97550.95190.92910.90730.88640.86630.84710.82870.81120.79440.77850.76330.74890.73530.72240.71030.69890.68830.67830.66900.66050.65260.64540.63880.63290.62770.62310.61910.61570.61300.61090.60930.60840.60800.60830

7、.60910.61040.61240.61480.6179