高三数学（理）高考二轮复习第一部分 专题一 第六讲　导数应用(二)

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1、限时规范训练1．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝(x>0)．当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0a知f(x2)－ax2

2、>f(x1)－ax1成立，令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.2．已知函数f(x)＝xlnx－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．解析：(1)若a＝0，f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx.∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时

3、，f′(x)>0，f(x)为增函数．(2)由题意知f(x)＝xlnx－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．①若a＝0，则f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．②若a≠0，∵x>1，∴只需＝lnx－<0在(1，＋∞)上恒成立．记h(x)＝lnx－，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.若a<0，则x2＝<1＝x1，∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立

4、，故h(x)为增函数，∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．若00，h(x)为增函数，∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，∴h(x)1时，f(x)<0恒成立，则a≥.3．(2016·长沙一模)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克

5、近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln(16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？解析：(1)由p＝q得2(x＋4t－14)＝24＋8ln(16≤x≤24，t≥0)．t＝－x＋ln(16≤x≤24)．∵t′＝－－<0，∴t是x的减函数．∴tmin＝－×24＋ln＝＋ln＝＋ln；tmax＝－×16＋ln＝＋ln，∴值域为.(2)由(1)知t＝－x＋ln(16≤x≤24)．而x＝20时

6、，t＝－×20＋ln＝1.5(元/千克)，∵t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．4．(2016·唐山模拟)已知函数f(x)＝.(a>0)(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．解析：(1)证明：当x≥1时，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0；当x<1时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时f(x)>0.所以y＝f(x)在R上单调递减．(2)若x≥a，

7、则f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，所以此时f(x)单调递减，令g(a)＝f(a)＝lna－a2＋1，则g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．③当1

8、，在(x0