高三数学（理）高考二轮复习第一部分 专题一 第五讲　导数应用(一)

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1、限时规范训练1．(2016·高考四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4　　　　　　　B．－2C．4D．2解析：根据导数求解．由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2

2、稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.答案：D3．(2016·广东五校联考)曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)A.e2B．4e2C．2e2D．e2解析：∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×

3、－e2

4、＝e2.答案：D4．(2016·沈阳模拟)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1

5、)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g(x)＝(x≠0)，当x>0时，g′(x)＝<0，说明函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，又f(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D5．(2016·河北“五个一”名校联考)若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)

6、A．2b－B．b－C．0D．b2－b3解析：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b

7、)＝axlnx＋1(a∈R)，x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(x)＝alnx＋a，∴f′(1)＝a＝2.答案：28．(2015·高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.解析：因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋

8、2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：19．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解析：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g

9、(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．10．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝(λx＋1)lnx－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当λ＝0时，f(x)

10、＝lnx－x＋1.则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0