不等式中恒成立问题的解法研究 完美.doc

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1、不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式”,“恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭

2、知识的能力。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例1：若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)(－2m2)根据题意有：即：解之：得x的取值范围为2化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy＝(1－y)若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x

3、成立，则()(A)－10对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化简得4a2-4a-3<0解得,故选择C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f

4、(0)是最小值，解得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解得m>1综合(1)(2)(3)得注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。3分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x)（afmax(x)（a

5、1，1)上是增函数，求t的取值范围。解：依题意，f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t则f＇(x)=-3x2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x∴tg(-1)即t5例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0(nN*)若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。解：依题意：[3n+(-1)n-1·2

6、n]+(-1)n·2n·a0>[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-1·2n-1·a0化简，得(-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1(1)当n=2k-1kN*时a0<·()n-1+D设g1(n)=·()n-1+∵g1(n)在nN*时且n=2k-1,kN*时是增函数∴g1(n)的最小值为g1(1)＝∴a0<(2)当n=2kkN*时a0>-·()n-1+设g2(n)=-·()n-1+∵g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数∴g2(n)的最大值为g2(2)＝0∴a0>0综上

7、可知00且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax<可化为ax>x2-画出y1=ax,y2=x2-的图像。由图可看出a<1或1

8、到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、