结构动力学能量法

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1、或者:KH診4■似徵,+，(2)动能:(3)=-i-J/•+-y•(4)T=dTpF(^f)办tiJ/信X)厶(5)结构动力学能铽法势能：设位移函数。局限性，不能同时考虑多种函数，频率偏高，动位移精度好，动内力精度低。考虑梁的轴向、弯曲、剪切和扭转变形的应变能：心+雙+错+1)ZJeAJ//uFrf根据能:w:守恒，即最人动能等于最人势能，可以求出结构的频率若只考虑弯曲变形，梁的频率为：LEJYfix)dxoLpFY^^dxG如果还有集屮质:U则，EJYffx)dxo%FK2O)dar+式中的y为位移函数，只要满足位移边界条件即可。以上两式也叫瑞雷商。从式

2、(7)还可以推导出：pFY2(x)dx(ar<)LEJYH2、x、dxLEJYtl2^dx0J0(8)rf，■十(9)HiJZ3L应用：如图，Tx▼，""")，，77777777?々研人(O)⑻<€)其周期：例题：两边简支的梁，取EJn4pFLkpF—fn9.8696~Z7~~Y=xQL—x)r2=«4—2Z/X3十TZr:rw=—2EJI(-2)2rfx0rL(x4—2Lx^+L2xz)dx12这比精确值偏髙10.9%余能：保持势能的优点，只设一个位移函数，可以推广到板壳及有限元屮，计算频率精度特高，接近实际频率，动位移差，动内力精度高。1、弯曲梁动力计算的最小余能

3、公式(1)式中：最后一项为支座沉陷的余能。结构运动方程：[£J/(x)f-m仍2y(x)+N,/(x)=0(2)该方程比静力问题多了-这一项，可以把它比拟成弹性地基上的梁。EJxl(3)(4)2k-dxrzM2W[mafy(x)]22EJ2mor)dx(5)其中M(x)为假想惯性力引起的弯矩函数。考虑剪切变形影响时式(5)可以改写成：n=(扭+迦_［繡2)’(’(x)=rzsin71X(7)则假想惯性力为:q(x)=mw2y(x)(8)32U).dxdM(x)(9)dx可以得到:=QM门/、2I>r冗Q(x)=mora—cosH

4、Nxa—cos71IIM(x)=mara(—}2sin—+TV^sin71I将式(10)代入(6)得到)zo2EJ71(—)4m26946f2-+22juGA7i2EJI221marcr+N]ma)2a2l+—a2l+7t22aGA4EJ[mW22ma)N'a2兀22uGAl(11)式(11)对取导数:［£/y〃(x)］〃+=0该简支梁弯曲变形余能力：n=2Mz(f%十)2厶如果梁是放在弹性系数为k的地基上时，其弹簧的余能为anlz5d(ma)2a)2EJN、meoa+1/32,.w%2//CA7T222EJ兀2(12)2//GAal=Q得到N'lN'心22EJ兀22

5、"G4EJ7T2jL/GA2EJ2jL/GA7T2EJ7T4jL/GA7T2式中：分母第一项为弯曲变形&的倒数，第二项为剪切变形&令7V,=0时可以得到:(14)0)‘CObco.如果将常轴力AG由压力变为拉力，式（11）变为:2EJ711jj[m2co4a2-2一-^7^(15)2EJi2*">1morcr兀12pGA99mcohN:^2/N'a2兀24EJ2/nGAl对取导数，得到ml(16)此为弦横向振动的基频若令式（13）中的仿2=0,则可求得：N'=(17)EJ兀1juGA强迫振动的余能方法：77Yy（x9t）=asin—sin份均布荷载引起的弯矩和剪力:q(

6、I-x)x2(19)-X、于是式(10)变成：(20)TJXe(-r)=z^2.z-cos4-cos4-^(/-x)M(x)=md2a{—}2sin—+A^^sin—+—(/-x)x兀II2La，/1JrT=——(一)4mW-+2EJ7T04a2--22X；/?2"72—22m#N'o/3N'o.N：o.N、cd0A29l5qm32a2EJ—md2a2—+———md2a2l+一—crl+2pGA4EJ2juGAl2EJ7T(21)ql'maG2alN}I3N'22EJ7T2juGAal0.129/5^2ql3(22)+2EJtt2+/jGA兀3求得a为：0.129〜+4

7、ql2EJ兀pGA7TG-乂EJ兀2jL/GAN-)(1-^(23)orAU2N'(24)EJ丌2"G4ml4ml2EJ7T4JUGA7l~0.129/V/^5^/4EJtt2~384EJ弯曲变形梁中点得位移4ql2，ql2/dGA^8//GA剪切变形梁中点的位移