&amp#167;3．1．3 导数的几何意义.doc

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1、§3．1．3导数的几何意义§3．1．3导数的几何意义【学情分析】：上一节已经学习了导数定义，以及运用导数的定义求导数。【教学目标】：1了解曲线的切线的概念2掌握用割线的极限位置上的直线定义切线的方法．3并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习

2、引入圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线曲线的切线如图，设曲线是函数的图象，点是曲线上一点作割线PQ当点Q沿着曲线无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线在点P处的切线为题引入作铺垫如图，设曲线是函数的图象，点是曲线上一点作割线PQ当点Q沿着曲线无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线在点P处的切线（2）讲解导数的几何意义2确定曲线在点处的切线斜率的方法：因为曲线是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，

3、只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度得到切线，所以可以用极限定义切线，以及切线的斜率那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了3．说明：(1)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率(2)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为指

4、导学生理解导数的几何意义，可以讨论(3)讲解范例例1、曲线的方程为=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程解：=∴切线的斜率为2切线的方程为－2=2(x－1)，即=2x例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程解:=∴切线的方程为－4=(x－1)，即=x－1例3、求曲线f(x)=x3－x2+在x=1处的切线的倾斜角分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率=tana，求出倾斜角a解：∵tana=通过例子，更深入理解导数的概念∵a∈［0，π，∴a=π∴切线的倾斜角为π(4)堂小结导数的几何

5、意义，怎么求曲线的切线。补充题目:1．导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在处的即：２．函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画出。　　3．导数的几何意义是什么？导数的几何意义是4．在函数的图像上，（1）用图形体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？　（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间

6、（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（in）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到01)02040608药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上几题可以让学生在堂上完成)6求下列曲线在指定点处的切线斜率(1)=－+2,　x＝２处　（２）＝，x＝０处．答案：(1)=－１２，（２）=－１7．已知曲线=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率(2)点A处的切线方程解：

7、(1)=∴点A处的切线的斜率为4(2)点A处的切线方程是－2=4(x－1)即=4x－28求曲线=x2+1在点P(－2，)处的切线方程解：=∴切线方程是－=－4(x+2)，即=－4x－3