几何变换的综合题目

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1、关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1．（05北京）已知，分别以、、为边向外作等边三角形、等边三角形、等边三角形．（1）如图1，当是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；图1（2）如图2，当中只有时，请你证明与的和等于与的和．图29（2）解法二：过A作垂线，利用将BC用AC、BC表示出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题，但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2.（2008年广东省中山市）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OC

2、D，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；BAODCE图8CBOD图7A（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.解：（1）如图7.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°.同理，∠6=30°.3∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.（2）如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵OD=OA,∴OD＝OB

3、，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,9∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，

4、充满着神奇，孕育着创造！例1（2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.（1）若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当°时，是什么三角形？（3）在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出

5、你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.图1图2图4图3解：（1）=证明：∵的中点为∴在中，9在中，∴=（2）∵同理∴==而∴∴当时，，此时为等腰直角三角形（3）当绕点逆时针旋转一定的角度，仍然存在=，故当时，为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【阅读题类】4．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的

6、值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．解：（1）线段与的位置关系是；DCGPABEFH．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长交于点，连结．是线段的中点，．由题意可知．．，．9，．四边形是菱形，，．由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得．．四边形是菱形，．．．，．．即．，，，．．本题为阅读理解题，阅读材料，从中获取解题方法与思路，并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5．（2008盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为

7、锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．第28题图图甲图乙图丙②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个