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时间:2018-12-08
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1、关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1.(05北京)已知,分别以、、为边向外作等边三角形、等边三角形、等边三角形.(1)如图1,当是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;图1(2)如图2,当中只有时,请你证明与的和等于与的和.图29(2)解法二:过A作垂线,利用将BC用AC、BC表示出来,进而将每部分的面积和都表示出来,即可得证。此题目中包含了基本图形变换,其本质是旋转问题,但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2.(2008年广东省中山市)(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OC
2、D,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;BAODCE图8CBOD图7A(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.解:(1)如图7.∵△BOC和△ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°.同理,∠6=30°.3∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.(2)如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形,∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°,又∵OD=OA,∴OD=OB
3、,OA=OC,∴∠4=∠5,∠6=∠7.∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,9∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.又∵∠AEB=∠8-∠5,∠8=∠2+∠6,∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2,∴∠AEB=60°.这是一道变换条件但结论不变的变式题,纯几何图形的关于旋转的简单证明,注意图形之中有不变的量。其解法十分相似,第(1)题是第(2)题的特殊情形,第(2)题是第(1)题结论的推广,这体现了从特殊到一般的数学思想,利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变,数字可变,条件可变,结论亦可变,
4、充满着神奇,孕育着创造!例1(2008湖北)小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,纸片的直角顶点落在纸片的斜边上,直角边落在所在的直线上.(1)若与相交于点,取的中点,连接、,当纸片沿方向平移时(如图3),请你观察、测量、的长度,猜想并写出与的数量关系,然后证明你的猜想;(2)在(1)的条件下,求出的大小(用含的式子表示),并说明当°时,是什么三角形?(3)在图3的基础上,将纸片绕点逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于90°),此时变成,同样取的中点,连接、(如图4),请继续探究与的数量关系和的大小,直接写出
5、你的猜想,不需要证明,并说明为何值时,为等边三角形.图1图2图4图3解:(1)=证明:∵的中点为∴在中,9在中,∴=(2)∵同理∴==而∴∴当时,,此时为等腰直角三角形(3)当绕点逆时针旋转一定的角度,仍然存在=,故当时,为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【阅读题类】4.请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的
6、值;(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.解:(1)线段与的位置关系是;DCGPABEFH.(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.证明:如图,延长交于点,连结.是线段的中点,.由题意可知..,.9,.四边形是菱形,,.由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,可得..四边形是菱形,...,..即.,,,..本题为阅读理解题,阅读材料,从中获取解题方法与思路,并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5.(2008盐城)如图甲,在△ABC中,∠ACB为
7、锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为.第28题图图甲图乙图丙②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个
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