函数单调性的教学反思

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1、函数单调性的教学反思刘冬四川省成都市实验外国语学校丙区数学组610213函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。关键点1:学生学习函数单调性的认知基础是什么？在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也己经形成了初步认识。函数单调性教学的引入应该从学生的己有认知出发，建立在学生初中已学

2、的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识。让学生分别作出函数y=2x、y=-2x、y=x2+l的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律。在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息:第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数。第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确

3、了函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义：如果函数f(x)在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数。关键点2:用数学的符号语言定义函数的单调性概念。对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的

4、，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。艽实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化,完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：右图是函数y=x4-(x>O)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？对于这个问题，学生的闲难是难

5、以确定分界点的确切位置。通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但冇时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研宄，使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3:—般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学4相对比较容易进行。后一过程的进行则奋相当的难度，艽难就难在用数

6、学的语言来描述函数单调性的定义吋，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：1.“x增人”如何用符号表示，以及“f(x)增大”如何用符号表示。2.“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化吋，接触到很少一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数

7、学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学的学生而言，无疑是一个很大的挑战。因此,在教学中可以提出如下问题：如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识。学生错误的冋答主要有两种：①在给定区间内取两个数，例如1和2,因为12&

8、lt;22,所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数。②可以用0、1、2、3、4、5验证:l>0,12>02；2>l,22>12；3>2,32>22；4>3,42>32；5>4,52>42o所以函数y=