因式分解与应用例题特殊方法

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1、式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。数字是供因式单项式多项式式分^公式法：平方差，完全平方，十字相乘法分组分解下面各式的变形中，是否为因式分解，为什么？(1)xA2-yA2+1=(x+y)(x-y)+1(2)(x-2)(x+1)=xA2-x-2(3)6xA2yA3=3xy.2xy八2意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的

2、，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法为相反变形错误！超链接引用无效。因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复

3、杂化）注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3xA2+x=-x（3x-1）错误！超链接引用无效。基本方法错误！超链接引用无效。⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最人公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的

4、第一项是负的，一般要提出号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出号时，多项式的各项都要变号口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守;提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2aA2+1/2变成2(aA2+1/4)不叫提公因式错误！超链接引用无效。⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。A：平方差公式：aA2-bA2=(a+b)(a-b)；(嵌套考法)例题：xA(n

5、+2)-2xA(n+1)+3xAnxA4-16xA4+16(难)4a八2b八2-(a八2+b八2-c八2)八2(c八2-a八2-b八2)八2-4a八2b八2(x八2-b八2+y八2-a八2)八2-4(ab-xy)八2巳:完全平方公式:aA2±2ab+bA2=(a±b)A2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。例题：(xA2-2x)A2+2x(x-1)+1关于完全平方公式的应用：例题1/9xA4+mxA2y+16yA2是一个完全

6、平方式求m的值特殊方法：如果告诉你一个式子是完全平方式，那么中间项的系数的平方等于4倍两个二次式的乘积。立方和公式：aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)；立方差公式：aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)；完全立方公式：aA3±3aA2b+3abA2±bA3=(a±b)A3.立方和，立方差，完全平方公式在中考中有可能出现，这是高中必须掌握的公式！错误！超链接引用无效。(3)十字相乘法(又称p,q法)这种方法有两种情况。①xA2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解(称为p，q法)这类二次三项式的特点

7、是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：xA2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).②kxA2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ac,n=bd，.目.有ad+bc=m时，那么kxA2+mx+n=(ax+b)(cx+d).例题：aA4-8aA2+16mA2-3mrn-2nA2xA2+4xy+3yA23x八4+6x八2-9(3)分组分解法：分组的原则：把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解在各组之间进行，并且一直

8、进行到底。分组分解法德情况：(1)分组后能直接提公因式。(2)分组后能直接运用公式(包括上面6个公式)。例题xA2-yA2-zA2+2yzxA2-4ax+8ab-4b八2（5）因式分解的应用：用于求参数的范围。例題1.设xA3+4xA2+mx-10是x-2的倍数，求m的值?2•若xA3+a