学生【数学】31《变化率与导数》教案(新人教a版选修1-1)

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1、第三章导数及其应用E励志导学】注意细节某实是一种功夫，这种功夫是靠日积月累培养出来的。谈到日积月累，就不能不涉及到习惯，因为人的行为的95%都是受习惯影响的，在习惯中积累功夫，培养素质。爱因斯坦曾说过这样一句有意思的话：“如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育。”也就是说“忘不掉的是真正的素质”。而习惯正是忘不掉的最重要的素质之一。微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研宄解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题屮，就隐含着近代积分学的思想。作为微

2、分学基础的极限理论来说，我国A代的数学家庄周和刘徽都做出了巨大的贡献。到了十七世纪，有许多科学W题耑要解决，如物体在研究运动时，求即时速度的问题，求曲线的切线的问题，求闲数的最大位和最小位问题。十七世纪的昨多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述儿类问题作了大量的研究工作，这也就成了促使微积分产生的因素，他们为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人研究的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里细心钻研，独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相

3、关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）,微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，品示出微积分学的非凡威力。自己也奠定了在微积分理论方面的坚实基础。本章主要由三部分，导数的概念及其几何意义、导数的基本运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题，在学习本章时，应注意以下几个方面的问题：（1）导数是建立在极限基础上的，并用极限定义的基木概念，它在微积分屮有极其重要的地位，导数也就是函数的变化率，可直接反映出实阮问题屮函数

4、变化的快慢，如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等；（2）导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算。学习时应熟练掌握直接利用法则和公式求导，应熟记导数公式与运算法则；（3）倒数的应用比较广泛，利用导数可以求阑数的单调区间、极值、最大值与最小值问题，还可以用来解决实际生活屮的某些应用问题，所在学习导数时，要注重于前面所学函数知识的联系，对于以前学过的一些函数问题，可尝试着用导数的方法做一做，从而达到熟练应用导数的目的。【思维导图】/§3.1.1函数的平均变化率E成功细节】谈变化

5、率与导数的学习方法本节主要学习函数的变化率、导数的概念以及导数的几何意义，概念比较多，我认为学习本节知识应注意以下儿个方而：（1）理解平均变化率与瞬时变化率之间的关系；（2）理解导数的定义以及求解导数的基本步骤；（3）明确导数的两个意义------儿何意义与物理意义，尤其是几何意义；（4）明确导函数与导函数值之间的关系的；（4）若曲线y=在点P（4，/（及；0处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直，所以曲线在某点处存在导数是在该点处有切线的充分不必要条件；（5）注意导数的儿何意义的灵活应用。如，（2007年新疆省模拟自测）若

6、函数y=/Cr）在区间（^6）内可导，且xoe0，/?）则linv/x()+A)—/(七―A)的值为()D.0//->()/7A./(x0)B.2/(x0)C.-2/(x0)本题主要考查导数的定义，解题时要注意Ax=（x（）+/i）-（x（）-/j）=2/j,^y=f(x0+h)-f(xQ-h)【关注.思考】1.阅读课木72、73页，思考一下问题：问题1中若每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？如何用数学知识解释这个W题？问题2中平均速度能否反映运动员的运动状态？细节提示：平均变化率与瞬时变化率的关系。【领会.感悟】

7、平均变化率是对平均膨胀率和平均速度等变化率的抽象概括，是指函数值的变化与自变璧的变化之间的关系。【粗读•概括】阅读课本74页至76页，思考一下问题：瞬吋速度以及与平均速度之间有什么关系？导数是如何定义的？如何求函数的导数？细节提示：瞬时速度就是平均速度的一个极限，也就是函数在某时刻的导数值.用导数的定义求函数的导数有三步。【提炼•发现】定义法求函数的导数，有三步：(1)求函数的改变量Ay=,(x+Ax)-f(x)；(2)求平均变化率二/U+Ar)-,(x)AxAy(3)取极限，得导数/=fx)=lim—.*Ax【精读•细化】3

8、.认真阅读教材76-79页，深刻理解函数的导数的几何意义，与以前学过的切线的定义一样吗？符号表示什么意思？细节提示:导数的儿何意义就是函数对应曲线在该点处的切线的斜率.【领会•感悟】3.以前学过的切线是指直线和曲线只有一个公共点，而这里的相切是指直线该点处于函数