13年高考真题——理科数学(山东卷).doc

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）（A）（B）（C）（D）2．设集合，则集合中元素的个数是（）（A）1（B）3（C）5（D）93．已知函数为奇函数，且当时，，则（）（A）（B）0（C）1（D）24．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）（A）（B）（C）（D）5．将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个

2、偶函数的图像，则的一个可能取值为（）（A）（B）（C）0（D） 6．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（）（A）2（B）1（C）（D）7．给定两个命题、，若是的必要而不充分条件，则是的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8．函数的图象大致为（）9．过点作圆的切线，切点分别为，则直线的方程为（）（A）（B）（C）（D）10．用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）（A）243（B）252（C）261（D）27911．抛物线：的焦点与双曲线：的右焦

3、点的连线交于第一象限的点。若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（）（A）（B）（C）（D） 　12．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）（A）0（B）1（C）（D）3 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 。　13．执行右面的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为________。　14．在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得 

4、x+1 

5、- 

6、x-2 

7、≥1成立的概率为________。15．已知向量与夹角为，且，，若且，则实数的值为________。16．定义“正对数”：，现有四个命题：①若，则；②若，则；③若，

8、则；④若，则。其中的真命题有（写出所有真命题的编号）。三．解答题：本大题共6小题，共74分。　　17．（本小题满分12分）设的内角所对的边分别为，且，，。⑴求的值；⑵求的值。　18．（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥中，⊥平面，，分别是中点，，与交于点，与交于点，连接。 ⑴求证：；⑵求二面角的余弦值。19．（本小题满分12分） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是。假设每局比赛结果互相独立。 ⑴分别求甲队以，，胜利的概率； ⑵若比赛结果为或，则胜利

9、方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望。20．（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，且，。⑴求数列的通项公式；⑵设数列前项和为，且(为常数)。令，求数列的前项和。21．（本小题满分13分）设函数(是自然对数的底数，)。⑴求的单调区间、最大值；⑵讨论关于的方程根的个数。22．（本小题满分13分）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1。⑴求椭圆的方程；⑵点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；⑶在⑵的条件下，过点作

10、斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值。2013年普通高校招生全国统考数学试卷山东卷解答一．DCABBCADABDB二．13．3；14．；15．；16．①③④17．解：⑴由题，又，解得；⑵由⑴可知，且，，故。18．解：⑴因为中点，故。同理，所以。因平面，故平面。又平面，故，所以；⑵因，且，故。又，故平面，从而平面，因此即为二面角的平面角。设，则易知，故。又，故，此即为所求。19．解：⑴，，；0123⑵由题，且，，，。故的分布列如右表所示，且。20．解：⑴设公差为，则，解得，故；⑵由可得

11、，，故，从而当时，。所以当时，，，故，由错位相减法可得；当时，，由错位相减法可得。综上知。21．解：⑴，由得，函数单增区间为；由得，函数单减区间为。故当时，函数取得最大值；⑵由⑴知，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数在时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。令得，。所以当时，方程有两个根；当时，方程有一个根；当时，方程无实根。22．解：⑴由题，，解得，故椭圆方程为；⑵由题，即。设，将向量坐标代入并化简得，因，故。而，所以；（另解：设，则，可得，故，故）⑶由题可知为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程为，故，而，，知为定值。ww

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