一种新整体最小二乘迭代解法

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1、.一种新的整体最小二乘迭代解法JianKong1YibinYao1,2HanWu1JianqingCai2(1SchoolofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,129Luoyuroad,430079,Wuhan,China)(2InstituteofGeodesy，UniversityofStuttgart,Geschwister-Scholl-Str.24D,D-70174Stuttgart,Germany)E-mail:ybyao@whu.edu.cn[摘要]整体最小二乘(TLS)问题首先由Golub和VanL

2、oan提出并给出了第一个数值稳定解法，经过二十多年的研究，已经从数学的角度给出了整体最小二乘有解的充分条件和解的形式。近年来，不少学者提出过许多TLS的新解法，其中较为实用的方法有SVD方法、迭代法。本文首先介绍现有常用的TLS解法，指出了这些方法实际应用中存在的缺陷，并在此基础上提出一种新的TLS迭代算法；TLS平差方法的精度评定一直是困扰测量数据领域的难题，本文在新迭代算法的基础上，提出了精度评定的策略，并通过算例归纳确定了TLS的自由度；最后本文通过工程算例验证了新算法的可行性。[关键词]整体最小二乘非线性方程求解TLS自由度迭代计算奇异值分解坐

3、标转换0.引言一直以来，最小二乘是测量数据处理理论中最基本、最常用的方法，但随着测量仪器精度的不断地提高，测量数据处理也更趋向于追求处理过程中估计理论的严密性。上个世纪末，有关学者提出在二维直线拟合问题中，由于观测点坐标在x、y方向均含有观测误差，如果将y坐标作为观测量，那么这时平差模型中不仅观测向量含有误差，由x坐标组成的系数矩阵也是含有误差的，而经典最小二乘数据处理过程中无法顾及这项误差[1,2,3]。这类问题可以归结为系数矩阵含有误差的高斯-马尔科夫问题，在数据处理过程中，经常会遇到平差模型中系数矩阵也是有误差的情况，传统最小二乘处理过程中忽略掉

4、这项误差，这样做显然是不合理的，估计出来的结果，从统计上来看是有偏的，而不是最优的[2]。整体最小二乘的提出正是为了解决这个问题，但是整体最小二乘解法的复杂性却制约了其自身的推广应用。为此，近年来不少学者给出了很多TLS的解算方法[3-8]，但这些方法在实际应用中存在缺陷，本文提出的迭代解法不仅解决了TLS算法复杂度的问题，而且在理论上完善了TLS算法。1.TLS的SVD解法和迭代算法1.1SVD解法TLS的SVD解法[3]由Golub和VanLoan提出，首次解决了TLS的解算问题。这种算法的提出是建立在下面的数学定理之上的：定理：如果，且存在正交矩

5、阵，，使得。即的SVD分解可以表示为，又若C的秩为r，有。对于.页脚.....，则有：1）2）在上面的数学定理的基础上，对模型，进行变换得到，如果对矩阵进行svd分解，按上面的数学定理，在以式为平差准则的情况下，可以得到下面的结论：（1）式中t表示待求参数的个数。由于这种算法是建立在上面的既定数学定理之上，理论严密，自提出以来一直是解决TLS问题有效的方法之一。但这种方法有个缺陷，就是Golub是直接对矩阵做SVD分解，认为A、b均含有误差，由于A中可能并不是所有的元素均含有误差，如果A中仅是部分元素含有误差，对其不加区分的做上面最小范数的约束，是不严

6、密的，可能会造成解算结果偏差较大[9]。这一点会在下面的算例部分讨论。1.2迭代算法TLS的另外一种实用解法是由BurkhardSchaffrin提出的迭代解法[7]，其基本原理如下，设TLS平差模型如式（2）所示(2)其中y是n维观测向量，A是维系数矩阵，是维参数向量，e是n维随机观测误差向量。若令A矩阵的改正矩阵为，且令。则整体最小二乘平差的平差准则可以写成：(3)为了求得目标函数的最小值，联立式（2）与式（3）构造拉格朗日函数(4)逐项求导可得：.页脚.....(5)令，则整理式（5）可以得到(6)其中，，在式（6）的基础上迭代过程可以按下面的过

7、程进行：1.由，计算2.由式和，计算3.由式，计算4.计算是否成立，否则重复2、3步，是则退出迭代。BurkhardSchaffrin在给出了上述迭代解法之后，给出了一种参数精度评定的方法，但是给出的公式是在对原有方程近似的基础上给定的，得到的结果并不是整体最小二乘平差下参数的实际精度。2．TLS的新迭代算法由于实际应用中上述TLS解算方法存在一定的缺陷，本文提出一种新的迭代算法，并在此基础上给出精度评定的策略。间接平差的误差方程式为：。整体最小二乘是考虑到了系数矩阵的误差。这时的误差方程变为：，现在方程中要求的未知数是观测值的改正数V，系数矩阵的误差

8、，以及未知参数的改正数x，常规最小二乘是直接极值的问题，首先目标函数是，又因为V是x的线性函数