Stewart平台雅可比矩阵分析.doc

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1、Stewart平台雅可比矩阵分析赵慧[1]张尚盈[2][1]武汉科技大学机械自动化学院430081Email:wszhaohui2000@163.com[2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室430074Email:zhshangying@163.com摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本

2、文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵1引言随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐[2]。Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewa

3、rt平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。2Stewart平台描述2.1坐标系建立如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系—在上平台上，坐标原点为上铰点的外接圆圆心；惯性坐标系—的坐标原点为下铰点的外接圆圆心；坐标轴的方向如图1所示。图1Stewart平台示意图如图2所示，平台的六

4、个上铰点位于半径为的圆周上，、在圆周上均匀分布；运动平台的六个下铰点位于半径为的圆周上，、在圆周上均匀分布。图2Stewart平台俯视示意图2.2平台位姿描述Stewart平台的姿态一般用欧拉角[3]描述。定义其平移，则其位姿可用广义坐标表示为：由体坐标系下的矢量变换为惯性坐标系下的矢量时：其中变换矩阵为：为从体坐标系到惯性坐标性的映射旋转阵。3Stewart平台运动学分析如图1所示，在单液压缸两端铰点间的矢量为[4]：（1）其中，为上铰点在体坐标系的坐标，为下铰点在惯性坐标系坐标。在液压缸两端铰点间的距离为：（2）液压缸的伸缩速度可由上铰点速

5、度沿缸轴线方向的投影来计算获得。（3）其中，为上铰点速度式（3）是单缸速度，6个液压缸的速度的计算可写成矩阵如下形式：（4）其中，，，。式（4）中的物理上并不实际存在，只是一整体表示符号。式（4）中的称为雅可比矩阵（JacobianMatrix），是并联机器人中的一个重要变量[5]，它将平台坐标与可控、可测的液压缸长联系起来。雅可比矩阵不仅出现在运动学，而且在动力学中也用其映射液压缸出力到平台上，因此是机器人学中的一个非常重要的矩阵。4雅可比矩阵分析4.1物理意义式（4）描述了平台速度与液压缸速度之间的映射关系；根据虚功原理，的转置将缸出力与平

6、台的受力联系起来。假设单缸给定单位力，的行可以解释为在平台坐标空间中所产生的（广义）力。的列可以解释为，为获得平台的单位速度所需缸的速度。由于并联机器人的控制通常由控制缸的伸缩来实现，根据式（4）有：（5）常出现在并联机器人控制系统反馈线性化控制结构中。的列指示了使单缸伸缩而其它缸仅旋转时所对应的平台速度；的行给出了为获得平台坐标空间中的单位力所需要的缸出力。因此，的条件数（或称制约数）可作为对平台可控性的一种量度，在奇异时，缸是不可控的。另外，平台的许多限制是由缸的特性（诸如缸的行程、最大速度和最大出力）导致的。雅可比矩阵在传递这些限制到平台

7、坐标空间中起着非常重要的作用。例如，若给定缸的最大伸缩速度，则平台坐标空间中的第（）维上的最大速度由的相应维的1范数与最大缸速度给出。（6）由式（6）知，平台沿某方向的速度等于相应行所有元素绝对值的和乘以缸的最大速度，平台其它方向的速度不定；进一步，若限制平台其它方向的速度为0，则有：（7）5举例说明某Stewart平台的基本几何参数见表1。表1Stewart平台的基本几何参数符号描述值（mm）上铰圆半径560上铰点间距260下铰圆半径1200下铰点间距450缸初始长度1460则该Stewart平台在中位时的雅可比矩阵为：（8）可由式（8）计算

8、得出，的第二列和第六列、第三列和第五列是不正交的，除这两种情况外，各列都相互正交，即有除了上述两种情况，有说明沿着（）向平动和绕着（）轴旋转耦合最为严