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1、Stewart型并联支撑机构运动学公式推导一、构型分析及坐标系建立静基座自动调平系统Stewart平台型并联支撑机构为双三角形机构，由一个活动上平台和一个固定的下平台所组成。上平台铰链点和基座平台铰链点的分布形式相同，但铰接点相互交错，六根支链分别用移动副和两个球铰链与上下平台连接。并联机构示意图如图1所示。图1Stewart并联机构示意图支链与动平台铰接点为A1,A2,A3,支链与基座铰接点标记为B1，B2,B3。坐标系选在平台的三角几何中心，由右手螺旋法则确定。动平台三角边长为a，定平台三角边长为b，动平台起始高度为h。根据设定的初始值，各支链与定平台、动平台铰
2、接点的坐标如表一所示。支链编号与定平台铰接点坐标与动平台铰接点坐标1B1（36b,-12b,0）A1（-36a,-12a,h）2B1（36b,-12b,0）A2（33a,0,h）3B2（36b,12b,0）A2（33a,0,h）4B2（36b,12b,0）A3（-36a,12a,h）5B3（33b,0,0）A1（-36a,-12a,h）6B3（33b,0,0）A3（-36a,12a,h）表一铰接点坐标二、并联支撑机构正反解两个坐标系，o和o'，其中，o为固定坐标系。（1）将坐标系o绕自身的x轴旋转γ；（2）将旋转后的坐标系绕固定坐标系的y轴旋转β；（3）将第二步的坐
3、标系绕固定坐标系的z轴旋转α；旋转矩阵分别为Rx=1000cγ-sγ0sγcγRy=cβ0sβ010-sβ0cβRz=cα-sα0sαcα0001按上述方式得到的总旋转变换矩阵为：Ro'o=RzRyRx=cαcβcαsβsγ-sαcγcαsβcγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ-cαsγ-sβcβsγcβcγ绕基坐标系旋转左乘，绕自身坐标系右乘设动平台的平移参数为（dx,dy,dz）,则坐标的齐次变换矩阵为：To'o=cαcβcαsβsγ-sαcγcαsβcγ+sαsγ0sαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ-cαsγ0-sβcβsγcβcγ00001
4、对于与动平台铰接的各点Ai(i=1,2,3),点的齐次坐标为pAi,经过变换后的点对应标记为Ai',变换后的齐次坐标为pAi',则，pAi'=To'opAi带入初始坐标后，得出变换后与动平台铰接的各点坐标值为：A1x'A1y'A1z'=-36acαcβ+12asαcγ-cαsβsγ+hcαsβcγ+sαsγ+dx-36asαcβ-12asαsβsγ+cαcγ+hsαsβcγ-cαsγ+dy36asβ-12acβsγ+hcβcγ+dzA2x'A2y'A2z'=33acαcβ+hcαsβcγ+sαsγ+dx33asαcβ+hsαsβcγ-cαsγ+dy-33asβ+hc
5、βcγ+dzA3x'A3y'A3z'=-36acαcβ+12acαsβsγ-sαcγ+hcαsβcγ+sαsγ+dx-36asαcβ+12asαsβsγ+cαcγ+hsαsβcγ-cαsγ+dy36asβ+12acβsγ+hcβcγ+dz设六个驱动器的伸展长度为∆li(i=1--6),则与之相应的六个方程式表示为：∆l1=A1'B1-A1B1=(A1x'-B1x)2+(A1y'-B1y)2+(A1z'-B1z)2-l1∆l2=A2'B1-A2B1=(A2x'-B1x)2+(A2y'-B1y)2+(A2z'-B1z)2-l2∆l3=A2'B2-A2B2=(A2x'-B
6、2x)2+(A2y'-B2y)2+(A2z'-B2z)2-l3∆l4=A3'B2-A3B2=(A3x'-B2x)2+(A3y'-B2y)2+(A3z'-B2z)2-l4∆l5=A3'B3-A3B3=(A3x'-B3x)2+(A3y'-B3y)2+(A3z'-B3z)2-l5∆l6=A1'B3-A1B3=(A1x'-B3x)2+(A1y'-B3y)2+(A1z'-B3z)2-l6由α、β、γ、dx、dy、dz经过上式推导得出∆li的过程，称为Stewart平台的反解过程。Stewart平台的输入是六个驱动器的长度量，正解就是有输入的驱动器长度，得出末端，即运动平台的姿
7、态。相反，反解就是已知所要的最终姿态参数，得出驱动器的伸长量。在Stewart平台的运动分析中，反解好求，而正解难。与串联机器人的运动学分析相反。三、并联支撑机构速度/加速度分析设Si为沿驱动器i的单位矢量，li为驱动器i的长度，ro'B运动平台质心o'到Bi点的位置矢量。ωo'和vo'分别是运动平台在惯性参考系中的角速度和线速度矢量，则运动平台上Bi点处的速度矢量为：vBi=ωo'×ro'B+vo'矩阵形式为：vBi=-ro'BIωo'vo'式中^表示矢量的反对称矩阵。对一个矢量x，有x=0-x3x2x30-x1-x2x10通过将运动平台上Bi点处的速度矢量v
