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《常微分方程--第五章 线性微分方程组（5.1-5.2节）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章线性微分方程组前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上.5.1微分方程组的存在唯一性理论5.2线性微分方程组的一般理论5.3常系数线性微分方程组5.3.2常系数非齐次线性微分方程组5.3.1常系数线性齐次微分方程组一、微分方程组的实例及有关概念多回路的电路问题是电源电压，是电感，是电容器电容,是电阻，是通过的电流，是通过的电流，由基尔霍夫定律可
2、建立以下方程组.5.1微分方程组的存在唯一性理论考虑多个回路的电路，解得上面方程组第二式两边对t求导得(5.1.3)Volterra捕食-被捕食模型设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的变化趋势.设t时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为假设个体不区分大小,而且没有个体向环境输入或从环境输出,当环境中不存在捕食者时,食饵种群的增长规律用下述Logistic方程来描述上式左端表示被捕食者的相对增长率;右端的常数称为内禀增长率,为环境的容纳量,由(5.1.6)可以看出,(5.1.6)因此当时,种群规模增长,时,种群
3、规模减小.反映了环境能保证食饵个体数量变化时最合适的容量,把(5.1.6)改写形式是其出生率减去死亡率(5.1.7)其中项反映了以下事实:即在容纳量一定的条件下,的增大,将使每一个体平均的生活条件降低,从而影响种群的相对增长率,因此或称为密度制约项.由于捕食者的存在,将使食饵的增长率减少,设单位总量成正比,注意到t时刻有y(t)个捕食者,它们在时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的单位时间内吃掉食饵的总数量应为为常数,对于捕食种群,当不存在食饵种群时,仍用Logistic于是(5.1.7)变为方程来描述增长规律,即当存在食饵种群时,被捕食者吃掉的
4、食饵将转化为能量去生育后代,设转化系数为则捕食种群的增长规律为其中式中项反映了捕食者仅以食饵为生.这样我们得到一个Volterra捕食-食饵系统(5.1.10)质点的空间运动已知在空间运动的质点的速度与时间t及点的坐标的关系为且质点在时刻经过点求该质点的运动轨迹.这个问题其实就是求微分方程组满足初始条件的解事实上,在第4章中的高阶微分方程令则上式可以化为方程组上面方程组中的未知函数的导数都是一阶的,因此,它们都是一阶微分方程组.若出现的方程组中未知函数的导数是二阶或二阶以上,统称为高阶微分方程组.注:所有的高阶微分方程组都可以通过变量代换化为一阶微分方
5、程组,所以今后我们只研究一阶微分方程组.的一般形式为含有个未知函数的一阶微分方程组(5.1.14)对所有未知函数都是一次的，称此方程组为线性微分方程组.线性微分方程组及非线性微分方程组:如果微分方程组(5.1.14)中的每一个例如:方程组(5.1.3)是线性微分方程组,方程组(5.1.10)是非线性微分方程组.否则,称为非线性微分方程组.微分方程组的解设在上可微，并有恒等式则称为微分方程组(5.1.14)在区间的一个解.通解及通积分含有n个任意常数的解为方程组的通解.这里相互独立.如果通解满足方程组(5.1.16)则称(5.1.16)为方程组(5.1.
6、14)的通积分.方程组(5.1.14)的初始条件为如果已知(5.1.14)的通解或通积分,而要求满足初始条件(5.1.17)的解,将(5.1.17)代入通解或通积分,得到关于的n个方程,如能从中解得再代回通解或通积分之中,就得到所求的解.二、函数向量与函数矩阵（1）函数向量和函数矩阵或者为上的函数.n维函数向量其中定义为是定义在I上的函数。阶函数矩阵定义为其中注：关于向量或矩阵的代数运算,如相加、相乘成立。与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分的定义如下：如果函数向量或函数矩阵是区间I上的连续函数，则称的每
7、个元素分别或在I上连续。如果函数向量或函数矩阵是区间I上的可微函数，则称的每个元素分别或在I上可微，则定义它们的导数分别为：如果函数向量或函数矩阵是区间I上的可积函数，则称的每个元素分别或在I上可积，则定义它们的积分分别为：关于函数向量与函数矩阵的微分、积分运算和普通数值函数类似。（2）矩阵及向量的范数对n维列向量及阶矩阵定义它们的范数为性质：1.且且2.3.对任意常数有4.5.向量序列和矩阵序列的收敛称为收敛的，如果向量序列对每一个数列都是收敛的。上收敛的（一致收敛的），函数向量序列如果对每一个函数列上都是收敛的（一致收敛的）。称为在在区间在区间是函
8、数向量级数,如果其部分和所作成的函数向量序列在区间I上收敛(一致收敛),则称在I上是收敛的(一
