离心载荷作用下循环对称结构的拓扑优化设计.doc

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1、离心载荷作用下循环对称结构的拓扑优化设计高彤张卫红朱继宏汤兴刚（西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，陕西西安710072）摘要：针对离心载荷作用下循环对称结构的拓扑优化设计问题，本文推导静力学拓扑优化的灵敏度计算公式，研究采用灵敏度的ESO方法进行拓扑优化时优化构型的单元体积依赖性，提出使用灵敏度密度替代灵敏度的计算策略解决这一问题，并通过算例说明其有效性。同时根据循环对称结构的几何特征，提出消除非等体积单元棋盘格现象的体积加权灵敏度密度过滤新方法。分析了静力和离心载荷共同作用下二维循环对称结构拓扑优化问题以及两种载荷的相对大小和单胞数目对优化构型的影响。

2、关键词：循环对称结构；拓扑优化；离心载荷；灵敏度密度；过滤技术1引言循环对称结构是具有特定形式的基本单胞通过圆周阵列形成的一类特殊结构，如航空发动机涡轮、齿轮、火箭弹体筒型支撑结构等。在工程设计中，采用有限元定量计算分析结合优化设计方法代替传统的经验设计、寻求合理的结构拓扑布局形式是进行结构创新设计的有效手段和发展趋势。然而迄今对循环对称结构的拓扑优化设计研究很少，文献检索发现仅Moses等人[1]研究了集中切向载荷作用下以刚度最大为目标时，单胞数目对拓扑优化结果的影响规律。事实上，工程中很多循环对称结构属于高速旋转部件，因此惯性离心载荷成为设计中必须考虑的因素。Mari

3、appan等人[2]的研究表明对高速旋转结构惯性力对分析结果影响很大。惯性载荷属于设计相关性载荷，即载荷在优化过程中随着材料分布与结构形式的变化而变化，载荷的有无取决于材料的有无，这一特点使灵敏度计算和优化求解策略的制定变得更为复杂。传递载荷、自重、表面压力等设计相关性载荷的研究受到诸多学者的重视[3-7]。此外，Turteltaub和Washabaugh[8]给出了外载和离心载荷共同作用下四棱柱截面拓扑优化构型并对不同载荷条件下的优化结果进行了分析比较。目前尚未见到有关在离心载荷作用下的循环对称结构的拓扑优化设计。针对此类问题，本文提出了使用非等体积单元灵敏度密度和体积

4、加权灵敏度密度过滤的新方法，结合改进的BESO（Bi-directionalEvolutionaryStructuralOptimization）方法，研究了静力和离心载荷共同作用下的二维循环对称结构拓扑优化问题，重点分析了两种载荷的相对大小和结构单胞数目对优化构型的影响，计算结果充分说明了方法的有效性。2循环对称结构静力学拓扑优化典型二维循环对称结构为空心圆环形式。如图1所示，结构内外半径分别为R1和R2；整个结构划分为mc×mr个单胞，每个单胞划分成nc×nr个平面四节点单元。在此，为使单胞边长比例协调、避免出现长宽比过大的单元从而保证有限元分析的准确性，划分单胞时使

5、径向单胞边长呈等比数列变化。为保证循环对称结构有限元模型的循环对称特性，首先对一个单胞进行网格划分，然后通过阵列操作得到结构的整体有限元模型。结构内圆环边界上节点固定，载荷包括如图所示的集中切向载荷F且结构绕轴做角速度为的匀速转动。图1二维循环对称结构模型本文研究的循环对称结构静力学拓扑优化设计问题模型可定义为(1)其中，为任意单胞中单元的存在状态，用1和0分别表示单元的存在和去除；和分别为单胞j中单元i的单元刚度矩阵和节点位移向量；为单元体积；为给定实体材料体积。本文采用改进的BESO方法进行结构的拓扑优化设计。为了便于灵敏度计算，借用SIMP材料插值模型（Solidi

6、sotropicmaterialwithpenalization）表示弱材料单元物理属性，在此假设单元刚度矩阵及材料密度与设计变量满足如下线性关系(2)其中，为单胞j中单元i完全填充实体材料时的刚度矩阵，为实体材料密度。从而，单胞j中单元i产生的惯性载荷向量可由下式的单元体积积分形式表示(3)其中为单元形函数矩阵，为单元积分微元位置向量。为旋转加速度向量，例如结构绕z轴做角速度为匀速转动，则。考虑到优化过程中惯性载荷与材料存在与否的直接相关性，灵敏度分析必须考虑惯性载荷作用的影响。根据式(1)中柔顺度的定义，结构整体柔顺度对设计变量的灵敏度可表示为(4)与通常的纯静载作用

7、下的优化设计问题相比，离心载荷的存在使得结构柔顺度的单元灵敏度增加了项而不再保持单调性，同时整个结构的灵敏度在优化迭代过程中可正可负，这给拓扑优化带来了困难。而BESO类方法在处理此类问题具有其自身优势，因为在优化过程中BESO方法仅根据灵敏度数值大小确定单元的去除和生长。3单元体积依赖性和灵敏度密度由于循环对称结构无法划分成大小、形状完全一致的有限元网格，通过算例研究发现，若仍采用式(4)中的灵敏度计算格式，不同形式的单元划分和单元体积大小均会导致拓扑优化结果的不同，在惯性载荷作用下这种差异尤其显著，即优化结果有很强的单元体