三维循环对称结构的渐进拓扑优化设计.doc

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1、三维循环对称结构的渐进拓扑优化设计汤兴刚，张卫红，高彤，朱继宏西北工业大学中法并行工程联合实验室552信箱，西安710072摘要：本文基于单元替换渐进结构优化方法（ERPM-ESO）对三维循环对称结构的拓扑优化设计进行了研究。针对旋转对称结构的对称性，利用单胞阵列的建模方式保证整个结构有限元网格的对称性，采用体积加权灵敏度过滤方法消除非等体积单元棋盘格现象，研究了结构在集中和均布载荷下的拓扑优化问题，分析了不同单胞数目对优化结构的影响。关键词：循环对称结构；拓扑优化；ERPM-ESO方法；灵敏度过滤1引言自1964年Dorn[1]等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑

2、优化领域以来，拓扑优化研究开始活跃，具有代表性的有Achtziger,Bendsoe,Chung,Lee等[2-4]研究了离散结构的拓扑优化设计。连续体结构拓扑优化由于其优化模型描述方法的困难以及数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢。1988年Bendsoe和Kikuchi[5]发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计方法开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。循环对称结构是航空、航天领域常见的一种结构形式，其几何特征是整个构件由若干个具有相同拓扑构型的子结构构成，是机械系统和武器装备中一类典型的结构形式，广泛应用于航空、航天、汽车等领域，如涡轮盘、齿轮、导弹弹体支撑

3、结构等。由于循环对称结构的结构、工作状态和承载形式的特殊性，导致循环对称结构的拓扑优化设计存在特有的难点和问题。仅有Moses等人[6]针对二维循环对称结构的拓扑优化设计进行了相关研究，讨论了在集中切向载荷作用下，以刚度最大为目标的拓扑优化设计。1993年Xie和Steven提出的渐进结构优化法[7]（ESO）是一种启发式优化算法，由于其程序实现简单并且优化结果不存在灰度区域，提出后很快用于针对结构刚度、振动、稳定性等性能的拓扑优化设计。鉴于该方法在双向优化过程中生成单元的局限性，本文采用基于单元替换（Elementreplaceablemethod-ERPM）的E

4、SO优化方法[8]，结合体积加权灵敏度过滤，对三维的循环对称结构的拓扑优化设计进行了研究，为工程应用提供参考。2三维循环对称结构静力学渐进拓扑优化2.1静力学渐进拓扑优化的数学模型静力学拓扑优化通常是在给定的材料体分比约束条件下，寻找使得结构的总刚度最大即柔顺度最小的材料布局形式，设计变量是每个单元的存在状态。基于ESO方法的结构静力学拓扑优化数学模型可以表示为（1）其中，为每个单元实体材料的体积，为给定的结构实体材料总体积上限;为结构的总体柔顺度，为结构刚度的逆度量。在优化过程中，随着单元的不断删除，结构的柔顺度会逐渐的增大。为了便于比较，本文中所有结果的柔顺度都

5、采用相对柔顺度，其定义为（2）其中，为未从结构中删除任何单元时的结构柔顺度，为第迭代结束以后结构的柔顺度。针对优化过程中单元的去除与生长两种状态，目标函数即结构柔顺度对任意单元的存在状态设计变量的灵敏度如下，其中正号和负号分别对应单元的删除和生长。（3）其中，，分别为整体坐标系下单元i的刚度矩阵和节点位移向量。2.2棋盘格控制棋盘格是连续体结构拓扑优化中常见的一种数值不稳定现象，各种基于有限元方法的结构拓扑优化设计都有可能产生棋盘格现象。常用的棋盘格控制算法有周长约束、密度斜率法、灵敏度过滤方法。本文采用灵敏度过滤方法进行棋盘格控制，该方法只需要在每次迭代过程中，对

6、计算得到的单元灵敏度进行一次光滑处理，在算法上与优化算法是独立的，程序实现和维护都较简单，且具有网格独立性，大量的算例证明该方法是有效的。给定灵敏度过滤半径，以单元的中心为圆心，半径为的球作为单元的灵敏度过滤空间，所有中心位于该空间范围内的单元参与单元的灵敏度过滤。灵敏度过滤区域内单元的体积加权灵敏度为：，，（4）其中和分别为单元j的原始灵敏度和单元体积，为单元与单元中心之间的距离，为敏度过滤区域内（）单元总体积。单元经过滤后的新灵敏度值为单元体积加权灵敏度分布函数与滤波函数的卷积，本文选择高斯函数作为滤波函数，过滤后单元的灵敏度为，（5）对于循环对称结构，我们希望

7、其结构构型在圆周方向上能够保持一定的周期性，即可以将整个结构看成是一个单胞沿着圆周方向阵列而成，结构中每个单胞内材料布局构型都要保持一致。优化过程中，将单元灵敏度按照单元对应关系进行求和取平均值，将所得到的平均值作为所有单胞对应单元的灵敏度值，这样就能保证优化后得到的结构仍具有旋转对称特性。假定结构沿周期方向被分成个单胞，每个单胞又被划分成具有个单元的有限元网格，则单胞单元灵敏度为：，（6）其中，和分别表示单胞中单元的体积加权过滤灵敏度和灵敏度密度，为结构单胞数目。每次迭代过程中，用来替代来决定优化迭代过程中单元的删除或生长，不仅可以去除棋盘格现象，还可以保证优