物理场的熵及其自发减小现象.doc

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1、物理场的熵及其自发减小现象张学文(新疆气象科学研究所)在科学发展史上某些人们创立的概念的含义一再扩大，这显示了这些概念在描叙物质世界中有着重要意义．质量和能量这两个概念就属这种事例.霍顿(G.Hoiton)[l]，说“某些概念之所以重要是由于它们反复出现在许多描叙和定律中，而且往往波及离最初表述很远的领域内”.这一段论述完全符合熵这个极为重要的概念在一百多年中的发展史.在热力学中，人们用熵测度微观的分子运动的混乱(无序)程度.在信息论中，熵被用来计量信息源发出的每个代码含有多少信息量.在物理学中人们广泛研究某些物理量在

2、空间中的分布及其演变.这里我们引用熵来描述物理量在空间中分布状态的丰富程度.这为物理学的研究提供了一种新的方法，而且由于它与热力学第二定律有关，因而向我们提出了一系列问题.这显然对物理学和第二定律的发展都有重要意义.一、历史的回顾“熵”这个概念是在1865年研究热机效率时被引入的一个物理量.人们发现它仅与物质现时存在的状态有关，而与过去经历的热力过程无关．在可逆的热力过程中，物质的熵(S)的增量由下式给出：这里T为物质的绝对温度，dQ为物质在元过程中吸收的热量．可是在不可逆的过程中，人们发现综合这些情况，就得出了微分形

3、式的热力学第二定律（1）在一切孤立系统中，物质与外界的热交换不存在，即dQ=0.故有（2）由这里得出在著名的孤立系统中熵仅能增大或不变的论断.一百多年来它一直被广为引用.熵是什么?大约在1870年，玻尔兹曼从分子运动的角度对热力学的熵给出了科学解释.他指出熵是分子运动混乱程度大小的一种测度．物质吸收了热，分子运动就更乱，分子运动速度就更加分散，变成各种大小不等的数值.这时熵就更加大了一些.如果承认分子的每种微观状态出现的机会都相等的话，人们看到不仅一个系统的每一种宏观态与极其众多的微观态对应，而且发现熵与该宏观状态下对

4、应的微观状态的个数Q的对数之间存在线性关系，即（3）k就是玻尔兹曼常数．上式就是著名的玻尔兹曼关系.在这里,就物质的状态问题(不是分子个数问题)，在宏观量熵与微观量之间建立了一个重要桥梁.给定的物质系统共有Q个微观状态，而每个微观状态出观的概率又相等，所以每一个微观状态出现的概率就是1／Q.这样就使我们在熵与概率之间建立起关系来.实际上上式还可以改写成（4）I／Q是微观态出现的概率.因而，由(3)式改写成的(4)式已经建立了一种熵与概率之间的关系.这无疑对理解什么是熵有重要意义.如按一般记法，概率用p表示，则在这里就有

5、故（5）至此我们看到，熵这一概念已经从可逆过程中热量吞吐与绝对温度的比值，扩展到了微观状态等新领域.事隔近百年，人们在研究通讯问题时，遇到了测度从某—信息源传来的信息量大小的问题.现代信息论创始人申农(C．E.Shannon)不仅把他的目光转向了概率论，而且天才地指出，如果一个信息源中某种信号出现的概率是pi，那么它带来的信息量就是-lnpi.如果信息源表示信息用的信号仅有n种，每种信号出现的概率又相等(都是p)，那末该信息源每个信号带来的信息就是.这个表达式与玻尔兹曼对熵的理解是非常相似的.照理而言，每个新学科的创始

6、人都有权为他提出的新概念使用由他命名的词汇；但申农由于看到通讯中的信息与热力学的熵本质上面一致性，所以他直接就用热力学中的熵这个词来测度他所研究的信息.当信息源发出的不同信号有着不同的出现概率时，申农把信息源的熵H以下式来定义[2]：（6）这个式子在外形上是(5)式的自然推广.在各pi相等时，它在外形上与(5)式完全一致.这里H仍称为熵，但右侧的系数C不是玻尔兹曼常数.当H以纳特(nat)为单位时，C值取为1.在通讯与计算机术语中H常以比特(bit)为单位.此时C取值为1／In2.即平时如以log2代替ln，C就是1.

7、申农把熵用于通讯理论中，使得熵的概念得到又一次扩展.在这个扩展中我们看到熵不仅不必与热力学过程相联系，而且也不必与微观的分子运动相联系.熵概念的扩展使我们再次看到它与概率论的密切关系，而且我们认为它最本质的东西是对物质系统的“状态”给出了一个科学的计量方法.这个状态可以是热学的，也可不是热学的，可以是微观分子的，也可以是宏观的.在概率论中，广泛地研究着离散型的随机变量和连续型的随机变量.(6)式给出的实际上是离散型随机变量的熵之表达式.仿照(6)式不难得出连续型的随机变量的熵之表达式应当是(7)其中只f(x)是连续型随

8、机变量x的概率密度分布函数.一枚硬币落下来后，它正面向上、反面向上的概率都是1/2．故依(6)式知其熵是H=-0.5ln0.5-0.5ln0.5=0.693纳特掷一枚骰子对应于一信息源有六个等概率结局，其熵为六个之和，即ln6．一个遵守正态分布的连续型随机变量，当其标准差为σ时，依(7)式可求得其熵为.而一个连续变量x，如等概率地