光滑质点流体动力学方法的稳定性分析.doc

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1、光滑质点流体动力学方法的稳定性分析陈建设徐绯黄其青西北工业大学航空学院结构工程系，西安，710072摘要光滑粒子流体动力学(SPH)方法在模拟大变形问题时具有巨大的优势，但是与其它无网格方法相比SPH方法计算精度相对较低。本文对光滑粒子流体动力学的稳定性进行了深入研究。分析了不稳定性产生的根源，包括拉伸不稳定和压缩不稳定，探讨了保守光滑算法和人为粘性对计算稳定性的影响。结果说明，人为粘性可以改进压缩不稳定现象，保守光滑算法对拉伸失稳和压缩失稳都有很好的改善。关键词光滑粒子流体动力学(SPH)不稳定性保守光滑算法1引言光滑粒子流体动力学(Smoot

2、hedParticleHydrodynamics,SPH)方法是一种纯Lagrange无网格方法，与其它的无网格数值计算方法相比，SPH方法对大变形问题的模拟具有明显的优势，主要体现在：(1)自适应性，即场变量的估计可以在任意分布的颗粒中取得；(2)“真正的无网格方法”，不需要积分背景网格；(3)拉格朗日特性，该方法中的颗粒不仅作为积分点参与计算，更重要的是这些颗粒还携带着材料的变形特征。它通过携带质量的粒子离散计算域，粒子本身便代表材料，不同材料的粒子自然地构成界面，不同材料粒子的相对运动便形成所谓界面的滑移，因此从理论上说，可以比较“自然地”

3、模拟高速碰撞、大变形、侵彻贯穿等物理现象。然而，SPH方法的计算精度相对差，这与其数值稳定性差和对边界条件处理的不完善是直接相关的。Swegle【1,2】在对SPH方法进行研究时指出，当采用B样条函数作为核函数时，不可避免地会出现拉伸不稳定现象，并且当核函数的支持域较大时还会出现压缩不稳定现象。本文对拉伸不稳定和压缩不稳定现象进行了详细的分析，研究了保守光滑算法和人为粘性对稳定性的改进。2SPH方法概述SPH方法是基于积分表达的强函数形式的函数估计，通过函数核估计可以把对物理量的空间导数转化为对核函数的求导。任意函数的核估计都可以利用核函数表示为

4、(1)式中称为核函数，是光滑长度。核函数应满足如下基本条件(1)归一化条件，即在影响域内核函数的积分为1，；(2)对称条件，；(3)W是强尖峰函数(stronglypeakedfunction)，当h趋于零时，有；(4)紧支性条件，在积分的影响域内，W有非负值，当(一般k取2)时，；核函数的选取有多种形式，SPH方法中常用的核函数为三次B样条函数，函数表达式为：(2)式中，在一维、二维和三维情形下，常数分别为、、。满足动量守恒的SPH离散方程如下：(3)(4)(5)应变率张量的粒子方程为：(6)3稳定性分析3.1拉伸失稳与压缩失稳拉伸不稳定性(t

5、ensileinstability)是SPH方法的一个致命的弱点，拉伸不稳定即当粒子处于拉伸应力状态时，粒子的运动变得不稳定，这样会出现粒子凝集和较大的空洞。Swegle【2】曾对它进行了比较细致的研究，指出这种不稳定性是由核函数的二阶导数和应力状态的乘积决定的，并提出了拉伸不稳定产生的充分条件：(7)式中：为光滑核函数的二阶导数。习惯上认为，在压缩状态下，应力为负；在拉伸状态下，应力为正。在三次B-Spline函数Eq.(2)中，核函数导数的绝对值(负号仅表示方向)在处有极大值。根据(7)式的充分条件，如果核函数的二阶导数为正，则SPH方法在拉

6、伸应力状态下是不稳定的，会出现拉伸失稳现象；如果核函数的二阶导数为负，则SPH方法在拉伸状态下是稳定的。所以，在B-Spline函数中，可以将极值点右侧的区域称为拉伸失稳区，如图1所示。图1三次B-Spline函数及一阶导数曲线Swegle在对稳定性进行研究时指出，SPH方法除了存在拉伸不稳定现象外，还存在压缩不稳定(compressiveinstability)【1,4,5】现象。压缩不稳定性产生的原因在于质量守恒和动量守恒离散方程中出现的并不是核函数本身，而是核函数的导数。对于三次B-Spline函数，当时，核函数导数的绝对值随着两点距离的增

7、大而减小，即邻近点对计算点的贡献随着距离的增大而减小。当时，核函数一阶导数的绝对值随着两点距离的减小而减小，即点对点的贡献随着距离的减小反而减小，说明点对计算点的贡献要小于离点更远的点对点的贡献，并且这种趋势将随两点距离的减小而加剧，这便是压缩不稳定产生的根本原因。因此将极值点左侧的区域称为压缩失稳区，如图1所示。对于三次B-Spline函数，当光滑长度大于1.5倍的粒子间距时，会出现压缩失稳现象。研究发现，拉伸不稳定和压缩不稳定是不可能同时消除的，只能尽量减弱它们的影响。相比压缩不稳定，拉伸不稳定性对计算结果的收敛有着更大的影响。Guenthe

8、r和Swegle等人提出了一种保守光滑方法(ConservativeSmoothingApproach,CSA)用于解决一维情形下的拉伸