各种积分间的关系

《各种积分间的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九节各种积分间的关系一格林（Green)公式及其应用二高斯(Gauss)公式格林（Green.George）简介格林（1793—1841）十八世纪英国数学家8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入了剑桥大学，四年后获得学士学位。格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。磨坊工数学家31.区域连通性的分类一格林公式及其应用设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分

2、都属于D,则称D为单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD42.格林公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,二重积分与其区域边界上的曲线积分之间的联系格林公式5边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.规定注：1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。2.边界是反方向，则3.区域是复连通区域时，格林公式也成立，边界必须是区域的整个边界。7证明：(1)特殊情形yxoabDcdABCE8同理可证yxoDcdABCE9证明(2)D两式相加得1011格林公式的实质:揭示了平面闭区域上二重积分与区域边界上的曲线积分之间的联系.123.简

3、单应用(1)简化曲线积分的计算13证:令则利用格林公式,得14(2)简化二重积分的计算15xyo1617解18xyoLyxo19xyo(注意格林公式的条件)20(3)计算平面区域面积2122解由求面积的公式：24解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式区域为D,则求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;注26若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向.思考题27思考题解答L由两部分组成外边界：内边界：28Gyxo4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件BA如果在区域G内有29说明:积分与路径无关时,曲线积分可

4、记为30定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即31由定理2知：积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，即3233解3435解3637由定理2知：由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，这样就可求出u（x，y）。38及动点或则取定点称全微分方程39例8验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.40证:设由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。41内容小结1.

5、格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:43设思考题44提示: