希尔伯特的第17问已经进入了一个名为自动驾驶汽车的崭新世界.doc

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1、希尔伯特的第17问已经进入了一个名为自动驾驶汽车的崭新世界　　编者按：一个世纪以前，伟大的数学家大卫·希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，其中提到了23道重要数学问题。时至今日，伴随优化理论的最新进展，希尔伯特的第17问已经进入了一个名为自动驾驶汽车的崭新世界。　　希尔伯特的第17问已经进入了一个名为自动驾驶汽车的崭新世界　　编者按：一个世纪以前，伟大的数学家大卫·希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，其中提到了23道重要数学问题。时至今日，伴随优化理论的最新进展，希尔伯特的第17问已经进入了一个名为自动驾驶汽车的崭新世界

2、。　　　　小飞机完美避障背后是什么数学原理呢？　　在机器人和汽车学会自动驾驶的很久以前，数学家们就已经开始思考一个基础数学问题。他们弄明白了，然后把它放在一边，开始证明新的问题……没有人曾预料到，这个他们曾经好奇的对象，最后会应用在未来的机器中。　　而现在，未来近在眼前。2017年，普林斯顿大学助理教授AmirAliAhmadi和AnirudhaMajumdar在arXiv上发表了他们的新成果。他们把一个经典数学问题作为铁腕证据，证明无人机和自动驾驶汽车不会撞到树上，或是撞上迎面而来的其他交通工具。　　这篇论文的名字是DSOS和SDSOS优化：基于平方和和半正定优化的

3、更多可行替代方案。是的，汽车避障技术背后的数学原理似乎有些令人匪夷所思——一个被称为“平方和”的数学问题。1900年，希尔伯特在大会上提问：对于某些类型的方程式，它们是否总是可以被写成两个有理函数的平方和。即：　　实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组(x1,…，xn)都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？　　为了解决这个问题，数学家们苦心研究了二十几年，直到1927年EmilArtin最终拿出了证明成果。之后，差不多是问题提出的90年后，计算机科学家和工程师把这个历史尘封的问题再度挖了出来——非负多项式的平方和表示，认为它是解决许多现实问题一大

4、利器。　　然而，尽管研究人员意识到了平方和的作用，但具体把它部署进实施方案又完全是另一回事。而Ahmadi和Majumdar的新成果消除了诸多困难中最大的挑战之一——将一个经典数学问题直接用于解决当今最重要的技术难题。　　　　论文作者AmirAliAhmadi　　非负性的保证　　平方和是什么？对于从小接受中国数学教育的读者，这个概念应该是信手拈来。比如数字13，把它转成平方和形式就是13=22+32，同理，34=32+52。　　希尔伯特提出的问题无关具体有理数，他希望证明某些多项式可以被表示为有理函数的平方和，比如5x2+16x+13=(x+2)2+(2x+3)2。　

5、　一旦一个多项式可以写成平方和形式，我们就可以确定它是非负的，因为任何数的平方都大于等于0，而非负数相加一定是个非负数。据此我们可以进一步细化希尔伯特的猜想：所有非负多项式都可以被表示为有理函数的平方和。　　这是个非常有用的数学定理。试想一下，如果你手里有一个复杂多项式，它可能包含10个或更多项，直接证明它的正负性是很困难的。因为有些多项式一看就是非负的，但有些却不一定。如果多项式可以被表示为平方和，它就提供了非负性保证。　　虽然从数学角度看，多项式是正是负很多时候无关紧要，但在希尔伯特提出问题的一个世纪后，这个非负性证明却成了影响所有人的应用问题。　　　　论文研究参

6、与者GeorginaHall　　最好的方法　　平方和和优化问题已经在现实世界相遇。优化理论关注的是在约束条件下找出实现目标的最佳方式——以自动化驾驶汽车为例，它需要规划最佳行驶路线，并在遇到无法绕行的障碍物时及时刹车。在工程领域，这类场景通常可以被提炼成多项式，而优化的方式就是找出方程的最小值。　　事实上，对于包含多个变量的方程，找出最小值是一件非常困难的事。这不是高中数学题，我们手头没有直接的算法，绘制函数图也相当难实现。　　所以在这种情况下，希尔伯特猜想就有了用武之地。拿华盛顿大学数学家RekhaThomas的话说，“证明非负性是所有优化问题的核心”。　　找到最小

7、值的一种思路是不断问自己：在非负多项式变成负值之前，我可以减去多少？这个尝试的过程可能会用到不同的值，比如这次减去3，方程还是非负的。那么减去4？减去5呢？在我们不断重复这个过程时，平方和就可以被用来判断多项式的政府情况。　　一旦研究人员获得最小值，也就是多项式的最优解，他们就可以用一系列方法找出可以输出这个值的所有输入。当然，这都是后话，整个过程的关键是如何找出一种可以快速计算多项式是平方和的方法。　　按照希尔伯特的说法，研究人员解决这个问题需要100年。　　　　大卫·希尔伯特　　打破僵局　　从2000年起，希尔伯特的第17问开始从纯数学转向实际应