厦门大学第13届景润杯数学竞赛试题评分标准（非数学类）

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1、厦门大学第13届“景润杯”数学竞赛评分标准(非数学类)一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，总计30分)1.2.

2、；3.4’(r)+8r’(’-);4.第一类间断点；5.(2In2+l)(cU-dy)；23/(r2)26./(2)；7.8;8.OyX2+x(Z?,cosx+/?2sinx)；9.0；10.—7uz3.二、(本题6分)设函数y=/(x)在点％=1处可导，且它的图形在点(1，/(1))处切I*e’+e'—e’)dz线方程为y=*-l,求极限/=,.•r^()x~Incosjc解：由于曲线y=/(x)在点(1，/(1))处的切线方程为;v=x-l

3、，所以有/(i)=o,ro)=i.(1分)做变量代换，令w=l+eA-ez，dw=-ezdr，则2x2e7(l+er2-er)dz=J:/⑻dw(2分)于是，2£e7(l+e’-er)drff(u)duff(u)du1=lim^——；=lim^=lim^x~Incosxx~ln(l+cosx-l)2/’(—T)2，2orf(ex)ex^2xr/(er)门仏、=-21im—―=-lim(4分)x->()4rx->()x=-lim^(e'=-1(6分)HOe?-l三、(本题6分)设［0，+oo)上定义的函数/(x)在x=3处连续且对任意,/(x)=/(V&).证

4、明：/(x)为常数.证：构造数列｛%,,｝，任取x0>0,xz,+1=^6+x,,,n=0,1,2,，(2分)显然对于V/2，'之0，k"+1-3H」6+x"-3

5、=31g11x"—31幺去

6、x"丨-3

7、

8、&-31y/6+xn+3333（4分）由夹逼定理可得limx,，+1=3./I—>00由题设条件/(%)二/G/x+6)，*20，贝iJ/(〜)=/(a/Vi+6)=/(^_,)=/(7v2+6)=/(v2)==/(x0)（5分）则有/(x0)=limf(xn)=/(limxj=/(3)，由％的任意性得/(x)=/⑶=常数.z/—>ccn—>00（6分

9、）注：构造出数列得2分，求出数列的极限2分，证明任一点的函数值等于/（3）得2分.四、（本题6分）求曲面+（i）3=i，Gz，/?，c〉o）所围区域n的体积vabc证明：做积分变换：x=auy=bv3,z=cy^,则所围的IX域0就变换成Q：w2+v2+W2或J=8(X，y，Z)8(u,v,w)dxdu03au2003bv2dz003cw221abcu"v^w8w所以V=JJJdrdydz=JJJ

10、J

11、dwdvdw=JJJ21abcu2v2w2dudvdw(2分)sin^再利用球坐标令u—rsincos9,v=rsinpsin^，vv=rcosp,V=JJJ

12、21abcu2v2w2dudvdw-=2labcWr6sin4^?sin20cos20cos2(p-r~sin(pdrd(pd0（4分）=21abc^sin25^9cos2^d^£Ksin2沒cos2<9d<9j*()rxdr=3tz/?c(£7lsin5^?cos2列p)(£%in2^cos2^d^)其中：I'in2如脚=-COsWW=*71冗R丌sin5^cos2^d^=£sin5(pd(p-^sin7^d^=2[£2sin>jjsin7(fl(l(p]=2[4Z.642]=.65375335x3古女V=3abc—=—abc.（6分，每个积分1分）35x3

13、43500n五、（本题6分）求幂级数5；—f的收敛半径，并讨论端点的收敛性.n=,1+-+-++_23n角军法1:因为1<1，由lim—f==1可知，打一＞00n(2分)00所以，幂级数£—^的收敛半径都是i.。=11+丄+丄++丄23n时—1IIX当1-3+112+1-n>Tin散发1

14、介数级于由+II3+112+11/7.+..（3分）得级数..（4分）00当％=-1时，原级数E是一个交错级数.因为打=11+-+-++23n单调减少，且lim"->00111+-+-+230.由莱布尼兹判别法，可知原级数在*=-1时收敛.(5)综上可知，原级数的收敛半径为1

15、，收敛域为［-U）（6分）解法2:设％定理得1+—n,111+—+-+23/I—>00lim^±L=lim—-f/i—///I—II1+-+-+2314-4-14-卞卞2卞31n=1.1n+1//—>00+—]=+00,由Stolzn（2分）oon所以，幂级数pjp的收敛半径都是1(3分)M=,1+-+-++-23n当x=l时，有——-~->-,由于级数V-发散，得级数iU4++丄"”='n23n00n[——j―jp发散.（4分）,,=11+-+-++-23n当x=-l吋，原级数ti_p是交错级数.n=11+-+-++-23n因为一-4T单调减少，且lim—-

16、4r=0-由莱布尼兹判别法,.111.