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《厦门大学第8届景润杯数学竞赛试卷及解答（理工）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、及门太嗲第，、雇省阀林叛嗲竞赛试來.斗紙.竞赛材闷2011.05.29《媒工來》1.（10分）求极限"3e~-arctanr22.（10分）设/（x）在［0，+oo）上连续，JLlimf（x）=A,证明:X^+00rIf*"、」A。vIf1cos2t.lim-/（t）dt=A,并计算lim—的值.A^+OCJ03.（10分）设/U）在［0,2］上连续，在（0,2）内可导，且/（2）=5/（0）,证明:存在fe（0,2），使得（1+《2）/'（幻=2#②）.4.（10分）设/（^y）=XCOS-+乂sin—,求jcydfdf2a2/na2/2d2/义十”十；
2、⑵又^+2xy^+y^r.oxdyoxdxdydy5.（10分）已知函数/（%，y）为连续函数，且满足/（x，j；）=x2+sinz/（x,y）dxd）xiz,其中n由锥面Z=*2+y2和平面Z=1所围成的区域，试求函数y）.6.（10分）计算f[2xy+3x2+4y2+cos^（—+f）]ds，其中xy,L:—+—=1,周长为6Z7.（10分）计算也办+xzd）’dz+z2dzdx，其中s是x2+z2在x>0的一半中被y=0和y=h（h>0）所截下部分的外侧。OC8.（io分）根据汉的取值，讨论正项级数[[e-（i+—）nr的敛散性。9.（10分）求幂级
3、数+#^7仁2n_1的收敛域。,z=iyin2/7-110.（10分）求一条曲线，使它通过点（0，1），且其上任一点处的切线和法线在;c轴上截下的线段长度为/+1。及门太嗲第，、雇省阀私獻嗲责赛试糸竞赛讨闱2011.05.29C«Xj(k)，.£:'0/)办3.(10分)求极限:3e~-arctanr2解：交换枳分次序原式sin(/)dxJ^TysinCy^dy=lim=e.limt^O3-1./2t->()elimt->o十.VtsinCt2)Vt•t2=elimt40十=04.(10分)设/(x)在［0，+oo)上连续,JLlimf(x)=A,证明:X
4、^+OO1-1fXrzX14r1f1C0S2t-im—也=4，并计算lim一ji——也的值.jqJ0x—XJ~i证：利用推广的洛必达法则nmij7Wt=nm^=Hm/w=AlimX->+OCX2cos—X77XX=13.(10分)设/(%)在［0,2］上连续，在(0,2)内可导，且/(2)=5/(0)，证明：存在fe(0,2)，使得(1+€)/'«)=2#«).证：设辅助函数①(X)=)2，则①(2)=/(0)=<1>(0),应用罗尔定理，存在5、如
6、，求dfdf2d2f，d2f,d2f⑴+(2)x2-^-^2xy—^+y^-^dxdydx^oxdydy解：y)=0(%，y)+叭X，)，)，-其巾00,y)=xcos—,i//(x,y)=y2smx则对任意的/t#0,有(i)/(Ar，2j0=^(Ax,Ay)+t//(Ax9Ay)=2^(x,y)+A2i//(x,y)记w=Ax,v=办,在上式两端对A求导，得(2)df(u,v)df(u，v)、u/、dudvxhy=^(x,y)+2入y/(x,y)卜.式两端乘UU，得a/(“，v)+v职“’v)=y)+222^z(x,y)=彡(w，v)+2i//(u
7、,v).dudv亦即+)尽=扒义，y)+2^(x,y).oxcy⑻在⑵式两边再关于2求导，得分rGM0+xy^fM+=^(x,y),dududvdvdu5v一即du2在(3)两端乘似2,得dudvdv2(3)“2響+2々+學-2—)，dx2dxdy^y)=^(x，办5.(10分)已知函数/(x,y)为连续函数，且满足/(%，j；)=x2+sin^+JJJz/(x，y)dxd}dz,其中n由锥面z=a/T77和平面2=1所围成的区域，试求函数/(x,y)解因为/(%,y)=x2+siny+JJJzf(x,y)dv%2+sin》，+JJ/(x,jOdxd)，z
8、dzx2+sinjy+
9、)f(x，y)dxdyi5A=JJ(1-x2-y2)f(x,j)dxdy,则有/(x,y)=x2+siny+—A..rv两边同乘1一％2-/,并在区域Z)v、，上求二重积分，则有X.V/I=JJ(x2+siny)(l-x2-y2)ckdy+^JJ(l-x2-y2)dxd^xyXV=JJx2(1-x2-y2)dxd^+—JJ(1-x2-y2)dA*dy(由奇偶性).n*.n*，cos23d3^r3(1-z.2)dr+音JXr(l-r2)dr=K(i_i)+KA(i_i)4624J-7C+丄7lA,124ttA=I_A_,w/(x,y)
10、=x2+sinj+_l_226.(10分)计算f[2xy+3x2+
